トンネル効果の境界条件1

昨日はここまでやりました。


ここで、b=0の極限でどうなるのか試してみますと
B=0、F=1という、自由粒子の解が出てきます。


では逆に、b→∞の極限ではどうなるでしょうか。
そのために、分母分子をcosh(ハイパボリックコサイン)で割ってみましょう。
そうすると以下のようになります。

その上で、b→∞にもっていきますと、tanh(ハイパボリックタンジェント)が1になり
ハイパボリックコセカント(cosech)はゼロになります。
が、Dについてはexp(k1b)との掛け算があるので油断は禁物です。

検証していきますと、以下のようにちゃんと有限の値に収束することがわかりました。


ですので、

こうなります。
|B|^2=1になることはよかったら各自計算してみてください。
反射波がまったくなくなっていますね。
ただ、障壁の高さが有限なので、少しだけ壁の中に波動関数がしみ込んでいるのがわかるかと思います。

いわば、右半分だけの有限深さ井戸型ポテンシャルというわけです。


では、このトンネル障壁の高さを無限にしたら、ちゃんとしみ込まないようになるのでしょうか

k1→∞の極限を取りたいので、分母分子をk1の2乗で割ります。

このようにしてからk1→∞の極限をとると

このように、逆位相の反射波だけが生き残ることがわかるかと思います。


実は、bが有限のまま、k1→∞の極限でも同じ結果になります。


この状態から、k1の2乗で分母分子を割ってみましょう。

ここでk1→∞にすると
またしてもDが怪しいですが、先ほどと同じ計算で、expとcosecの掛け算は2に収束してくれるので
B=-1以外全部ゼロになり
bが有限でも無限でも関係なく

の結果になることがわかります。


つまり領域ⅡにもⅢにも波動関数はないのですが
領域Ⅰには波動関数があり

Ψ1=exp(ikx)+Bexp(-ikx)
のB=-1なので
Ψ1=exp(ikx)-exp(-ikx)=2isin(kx)
ということになります。

虚部に関しては、固定端反射の「節」と同じ結果になり
実部に関してはゼロなので、固定端反射の「節」でありながら自由端反射の「腹」でもある、という、なんとなーくだけどもコーシー条件っぽさが残る結果になりました

つづく




追記

トンネル障壁の高さをゼロにした極限は、今の状態のままだと実は解けなくて
粒子のエネルギーが障壁よりも高い状態にも拡張した式を構築する必要があるため
また今度ということで＾＾；
領域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲともに指数関数の中身が実数ではなく純虚数になりますからねえ・・・
数値計算だと、井戸型ポテンシャルでもやったんですが、あふれ出る貞子たんのように汎用性高いんですけどねえ