RP：反射の観点から見た直流におけるインピーダンスマッチング(リピート)

インピーダンスマッチング(整合)について考えるとき
電源に抵抗が2つ直流についてる回路を考える。
このうち、電源に近い抵抗Z_iは電源の内部抵抗とし
電源から遠いインピーダンスZ_Lは負荷とする。

Z_L=∞のとき、回路は開放であるといい
Z_L=0のとき、回路は短絡しているという。

開放でも短絡でも負荷で消費される電力は0である。
では、Z_Lがどんな値のときに負荷で消費される電力が最大になるのだろうか。
これは回路の電力効率を考える上で重要である。


Z_Lに加わる電圧VLは、電源電圧を1とすると分圧の法則より
V_L=Z_L/(Z_i+Z_L)である。
また、負荷で消費される電力P_LはP_L=V_L²/Z_Lなので
P_L=Z_L/(Z_i+Z_L)²となる。

これは、Z_Lを横軸にとると両端が0なので、この間で関数のZ_Lによる微分が0になったところでP_Lは最大になるはずである。

dP_L/dZ_L=((Z_i+Z_L)²-2(Z_i+Z_L)・Z_L)/(Z_i+Z_L)⁴
=((Z_i+Z_L)-2Z_L)/(Z_i+Z_L)³=(Z_i-Z_L)/(Z_i+Z_L)³
これが0になる条件は、Z_i=Z_Lのときである。

つまり、電力をもっとも効率よく伝播させるには、
電源の内部抵抗と負荷のインピーダンスを等しくしなければならない、ということである。

ところで、このインピーダンスマッチングを反射の観点からも考えることができる。

電源から電圧のパルス波が負荷に向けて流れたとき
回路が開放されていれば負荷部分でそのまま反射され
回路が短絡されていれば負荷部分で極性を反転させて反射される

負荷短絡・開放・ステップ入力時の反射の様子(gif動画)
(この動きが瞬時に行われる)
訂正：「負荷までの距離」の軸の値を0～2→1～-1と読み替えてください＞＜真ん中の太線が鏡＝負荷です

この反射は、それぞれ
負荷を線対称(開放)、点対称(短絡)の鏡と考え、
電源からパルスが向かっていると同時に
反対側にある仮想の電源からもパルスが向かってきていると考えても同じことである。

負荷部分では波の重ねあわせが起きるので
負荷が開放の場合は電圧パルスは2倍に
負荷が短絡の場合は電圧パルスは打ち消しあって0になる。

では、負荷インピーダンスと電源の内部抵抗が等しい場合はどうか？
このときは反射が発生しないと見ることができる。
電源から送られた電力はすべて負荷インピーダンスで消費されているのである。

このときの負荷に加わる電圧は電源電圧の何倍だろうか？
入力する波をパルスではなく直流(ステップ関数)にしてみよう。
(ステップ関数とは、スイッチを入れた直後から電圧が発生するような関数)
開放の負荷のときは
1段だけの波が負荷に向かって押し寄せ、反射してそのまま電源に返ってくるので、入射波と反射波の重ねあわせであるステップ2段分の電圧が電源に戻ってきて、これが最終的に電源電圧として観測される。

ということは、電源から出た電圧の波の大きさは内部抵抗を過ぎた時点で電源電圧の半分になっていたということだ。

これは、実はインピーダンスマッチングを行ったときに負荷に電源電圧の半分の電圧しか加わっていないのと通じるのである。







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