電子雲の経度方向波動関数について２

昨日のブログでは割と定性的な話しかしなかったから、今日はもう少し定量的な話をしようと思う

極座標における経度方向φの波動関数Φ(φ)=U6だけども


B2>0だと指数関数
B2<0だと三角関数になる

しかし、経度0度と360度で連続でなければならないので、指数関数ではありえないことがわかる。
Φ(0)=1≠exp(±2πm)=Φ(2π)
Φ'(0)=1≠±mexp(±2πm)=Φ'(2π)

よって、B2は必ずB2<0を満たす


三角関数だと
Φ(φ)=exp(±imφ)になるので

Φ(0)=1=exp(±2πmi)=Φ(2π)
Φ'(0)=1=±imexp(±2πmi)=Φ'(2π)
が境界条件なので、mが整数という条件を満たさなければならないが、

よく計算してみると、この微分方程式だけでは、mの2乗の上限、つまりmの範囲を決めることができないことがわかった。
たぶん、緯度方向のΘ(θ)、動径方向のR(r)まで話がさかのぼるんだと思う。

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次に、規格化定数について調べてみると

僕はてっきりΦという関数を実数化するものと思っていたのだけど
どうもそうではないらしい。

というのも、

Φ(φ)=exp(±imφ)の線形結合として
Φ(φ)=Aexp(imφ)+Bexp(-imφ)=Acos(mφ)+Bsin(mφ)=Acos(mφ+B)

(各々の規格化定数AとBは同じものとは限らない)

として、絶対値の2乗を0から2πまで積分すると


こうなってしまい、位相の定数Bはいいとして
AがA=1/√(π)
になってしまう。A=1/√(2π)というwikiと合わない。(水素原子の波動関数なんて伝統の由緒正しいwikiなんだから、ここが誤植ってことはないと思うんだ)


そこでwikiとにらめっこしたところ、m=+1とm=-1が別々に書いてある。

そういえば昔どこかで聞いた、「水素原子の波動関数は縮退している」という言葉と
「束縛されていない粒子の波動関数は複素数のまま」という言葉を思い出した

この「縮退」「束縛状態」「複素数」というのはもしかして、つながっている1つの現象なのではないか！？


と思い、Φ=exp(±imφ)を素直に絶対値の2乗を取って積分してみるとあら不思議


ちゃんとwikiどおりAがA=1/√(2π)

になったじゃん！