4次元版ロドリゲスの回転公式を探る旅

おそらくはこれでいいのだろうが、行列指数関数の結果がいまいちわからない。


幸い？変数は6つある。6つあるうちの3つだけを選んで、ロドリゲスの回転公式が成立するのを確かめてみよう。


組み合わせは以下の6C3=20通りだ。


ロドリゲスの回転公式の行列指数関数を展開するにあたってポイントとなるのは
指数の中身になる行列Aの2乗が、マイナスのAそのものになることだ。
つまりもっといえば、4乗して元に戻る。(回転軸の法線ベクトルを規格化していたらの話)


そこで、10乗までして様子を見たところ、意外な結果となった。

20通りあるうちの、6通りしか、4乗して元に戻らないのだ。
それどころか、ほかの12通りでは、何乗しても戻りそうにない。

4乗ループが成立するのは、以下の3通りと、その転置行列を合わせた6通りらしい。
いやこれは転置ではなかったな。
通常用いる行列の対角線ではないもう1本の対角線を軸に対称にした3ペアだ。



最近改めて思い出したのだが、例示は理解の試金石ということだ。
何も、解析的に計算しているばかりが発見につながるわけではないわけで
このように、ある程度あてをつけながらs1～s6に一様乱数をぶちこんで
数値計算の様子を見るのも方法の一つなのだなと思い出させられた。


昨晩、scilabを導入していて思ったのだが
複素行列を簡単に大量に扱えるようになるといって、何のいいことがあろうか
と思っていたが、そんなのは遊んでみてから勝手に決まることだ。

個人的には複素数の構造体と、行列の配列・ポインタと愉快なラブ・ライブラリたちを作ることで理解する。
それが最優先事項というか、目的そのもののように思えてきてしまっていたのだが、
そうではない。

もちろんすでにある英知の結晶に劣るのはわかっているが、これを使って何ができるだろうと
考えるより産むがやすしだったのをすっかり忘れていた。

以前のように、ユニタリ行列に乱数をぶちこんで遊んでみればいいではないか。
それで結果が出るようであれば出るべくして出るし、出ないのなら仕方がない。


解析用のExcelファイルを置いておく。よかったら遊んでやってほしい
いつものように、空白セルを選択した上でdelボタンを乱射すると、一様乱数が再計算される仕組みになっている。
たぶん、その場で開くのではなく一旦DLしたほうが動くと思う。
DLしたら、保護されている「編集」をONにしてくれると数値が動くはずだ。
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