数学ガール～フェルマーの最終定理～クライマックスへジャンプ

1つしかなく無数の元を持つ有理数体Qの代わりに、無数にありながら有限個の元を持つ有限体Fp(pを法としたあまり：モジュロ演算)で楕円曲線をしらみつぶし的に考えることができるらしい。


たとえば5で割ったあまりで楕円曲線y^2=x^3+xが成立するかどうかを調べるとこうなる。

5×5=25個の組み合わせの中で成立するのは7つだけ。
これは、楕円曲線の「重解を除く」という条件があるためらしい。


以下に素数p：2～29を法とした楕円曲線の表(表はimageです)へのリンクを貼る。

2,3,5,7,
11,13,17,19,23,29

pに対する成立個数s(p)を改めて表にまとめるとこうなる




ところで
実に数学らしい薮蛇現象があって
保型形式
たとえばこんなん

の無限積をqの30次まで展開すると
qの次数について次のような級数となる。

k次の数列をa(k)とすると、以下のような表(表は図です)になる。


展開の方法としては、30次以上になるものを大文字のQでまとめて無視してしまい
kを徐々に増やしていき、30次未満が出なくなるkまで進んだらストップ
ということをやればいいそうだ。










PCは解析的計算においても便利だな。コピカペはできるし字がきれいだ。


qの次数を素数pに限りa(p)としてから、楕円曲線の法(素数p)ごとに成立する数s(p)と比べると
(aには4の倍数次のときの係数しかないので)

a+s=pが成立している。


なにやらこのような手続きを経て、フェルマーの最終定理は晴れて予想から定理になれたらしい･･･
なんだかよくわからないが、雰囲気だけは醸し出されたようだ
と、僕の主観ではそう思った。
俗に言うブルーバックス現象とか、きつねにつままれたような入門書現象とかそういうやつである。

まあ、入門書ですべて理解できたら専門書なんていらないんだ。
全人類が研究者になってしまうますしおすし。


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