アフィン変換は平行移動のジョルダン標準形をどうやって無理やり導いたのか

6月30日の続きです。


今日は、どうやってジョルダン標準形を無理やり導いたのかについて書きます。

正直、正攻法のジョルダン標準形の導き方は、まだ習得できていません。

ただ、要素数の少ない行列では、こういう方法で導出も可能、
ということを利用して、理解を深め始めてみたい、というのが狙いです。


2次元空間における平行移動は、ダミー次元を3次元目に付け加えることで、以下のように実装可能です。



x0とy0がほぼほぼ任意でも、気兼ねなく固有値がカブってくれるので、ジョルダン標準形の例題としては都合がいいでしょう。

さて、さっそく固有ベクトルを求めたいと思いますが、

ジョルダン細胞は次のうちどのようにすればいいでしょうか



細胞の大きさが全部1次なやつで考えてみましょう。

平行移動のアフィン変換行列をAとおき、対角化のための行列をPとおきます。

そのPの中身を


と仮定して、AP=PJが成り立つ条件を考えるのです。

細胞の大きさが全部1次のJでは、Pは このようになることが予想されます。

これではPの逆行列が定義できないので、このジョルダン標準形は候補ではないことがわかりました。


次に、細胞が3次のジョルダン標準形をAP=PJに当てはめてみましょう。
こちらの場合は、Pの逆行列は発散せずに定義できますが

対角化したのちのAのn乗がおかしなことになってしまいます。



では、残った真ん中の候補、「2次：1次のジョルダン細胞」を使ってみることにしましょう。


これが恒等式としてなりたつ条件を探すわけです。

すると、以下のようなPが導出されるはずです。


ぶっちゃけ、b=c=e=f=h=1で構いません。たぶん。(この辺は「より一般的な解を探す」という意味で微分方程式に通じるものがありますね)

なので、

となって、

平行移動をn回行った変換としてのAのn乗が



ちゃんとこのように導出できるはずです。


このように、行列に物理的？な意味を与えて、自分で検算できるようにしてから
自作の問題を自演して解く、というのも導入としてはアリかな、というニュアンスです。


ただ、ここで気になるのは、Pの逆行列が、x0=y0で発散してしまう点です。
解析計算では結果オーライでも、数値計算でこうなってしまうと例外処理が面倒ですよね。
正攻法でやったら、この辺ももう少しすっきりするのかもしれません。


今回は、図らずもランク落ちも想定した問題になってしまったのでラッキーでした。



Aの逆行列(逆変換)をいろんなアプローチで計算して、理に適っていることを確かめてみてください。

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