トリボナッチ数列の一般式を行列で求める

 
トリボナッチ数列はこのようになっていて、
フィボナッチ数列では「前の2つの合計」だったのが、「前の3つの合計」に変わっています。

これを行列で表すとこのような漸化式から一般式に変わります。



ここで、行列のべき乗が現れます。これを効率的に求める方法として、対角化がありますが、
対角化の準備段階として、固有値と固有ベクトルを求める必要があります。

ここに、以下に示すAという行列があって、Aのべき乗を求めたいとしましょう。


Aの固有値が3つバラバラで、対角成分だけが固有値のみでできているJという行列があり


行列JとAとの間に

AP=PJ

という変換法則があったとしたら 

Aのn乗は次のように簡単に求められます。


このPは、固有ベクトルである縦ベクトルを、横に並べたものとなります。


まず、固有値を求めてみましょう。

固有値はこのように求めることができます。

この3次方程式の解は、カルダノの方法で


このように求まります。
ここで、λ1は実数、λ2とλ3は複素数で、λ3はλ2と複素共役であることがわかるので
B=λ1、b=λ2とおくことにします。

また、固有ベクトルは、この行列の場合
固有値がBのとき、bのとき、b*(複素共役)のときでそれぞれ

とわかっているので、AとJの間の変換のための行列Pは

であることがわかりますし、Pの逆行列は
行列式|P|と余因子adjPを用いて

こう書けるので

行列式は

こうなり

余因子は

こうなります。


一般式は

この行列の、一番下の列だけあればよいですし、縦ベクトル(1,0,0)の最初の1以外はゼロなので

青く塗った部分の計算はいりません。

結局、一般式Tnは
 
このようになります。

複素数でなおかつ、無理数なのに、
不思議なことに、トリボナッチ数列は自然数として算出されるのです。

nが自然数ならトリボナッチ数列も自然数で合ってるのですが、nは実は負の整数まで拡張でき
トリボナッチ数列自体も、負の整数まで拡張されます。


もうちょっと綺麗にできそうな気がしますね。


テトラナッチ数列を行列の固有値から求めることもできなくはないんですが
4次方程式の解である固有値そのものが、解析的に化け物じみた狂気をはらんでいるため
テトラナッチは諦めましたｗｗｗｗ
狂気の様を見たいなら、ウルフラムαに「行列の固有値として」代入してみると見れます。
なぜかx^4-x^3-x^2-x-1=0という高次方程式にすると近似値だけが返ってくるんですよね。
3次方程式x^3-x^2-x-1=0も同様です。

僕がやりたいのは、解析的に整数に落ち着くまでの姿を見たいのです；ω；