ユニタリで必ず対角化できると言ったな、あれは嘘だ

3次元アフィン変換Aを対角化するための行列PはP自身もアフィン変換であり

このようになる。

invP・A・Pはちゃんと対角化されるが、

これを規格化してユニタリにしようとすると、単にノルムが1になるように

このようにBの規格化定数シリーズを決定したようでは、明らかにユニタリにはならないことがわかった。

そこで、グラム・シュミットの正規直交化法というのを試してみた。

すでに得ている、規格化前の固有ベクトルをv1～vnとして
u1～unを求めることでユニタリになるように仕向ける方法だ。
なんだか全微分を思い出す。


u1～unは以下のように求める。

ここで、u・vは(n次元での)内積を意味しており、|u|^2=u・u(自分自身との内積)を意味している。

そうやってできた固有ベクトルu1～unの、ノルムを1にするようにして満を持してここで素直に規格化(vシリーズではなくuシリーズで)すると、ようやくユニタリ行列ができあがる。



正直、イメージ図のgifを見ても何をやっているのかさっぱりわからないが、とにかくユニタリ化できたことはわかった。逆行列が転置行列そのものになっている。もちろん行列式は1。

しかも、中身が全部実数でできたユニタリ行列だ。


しかしながら、これを改めてPとしてinvP・A・Pを求めても、対角化できない。なぜだ！？


と思ったが、グラムシュミットの方法のページには、「対角化できる」とは書いていないのだ。
代わりに「三角行列ができる」とだけ書いてある。
確かに演算結果は三角行列にはなっている。
そもそもグラムシュミットについて知ったのは知恵袋的なところからであり、
「ユニタリにしたいなら規格化だけではだめで、グラムシュミットが必要だよ」という口コミがソースだった。こちらも、「ユニタリにできる」とは書いているが、「対角化」には触れていなかった。


このユニタリは一体なんのために生まれて何をして喜ぶのだろうか・・・？
この生成されたユニタリPは、何らかの行列を対角化できる相手の行列本妻Aが存在するのだろうか？


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ところで、
ふとこれを複素行列に拡張したくなった。当然の発想ではある。

すると、「複素内積」という概念が出てきて、これについて複素数は交換法則が効かないらしい。


言われてみれば、u=a+ibとおくと、|u|^2=(a+ib)(a-ib)
といった風に、自身とその複素共役を掛け算することでノルムを得ている。
自分自身との複素共役だったから、たまたま、掛け算が逆になっても結果は変わらなかった。

ところが
これを、u自身とではなく、ほかの複素数v=c+idとの複素内積を行うのだとしたら

u・v=(a+ib)(c-id)
となって
v・u=(c+id)(a-ib)
とは結果が異なってしまう。


どうして僕は今の今までこのような内容を全然知らされていなかったのか。

おそらく、僕の住んでいた分野ではグラムシュミットの必要性がなかったのだろう。
量子力学にしても、ジョルダン標準形があんまり必要なさそうな分野だ。グラムシュミットが必然的に不要気味でもおかしくはない。


それに、複素行列になってようやく、複素数そのものの交換法則が揺らぎ始めたのも
おそらくそれまでは複素数uが孤独だったからだと考えられるのではないか。
行列の中に入って初めて、ほかの隣人複素数との内積をとるようになって、交換法則に乱れが生じるようになったのかもしれない。
あくまで複素数の問題であって行列の問題だけではないことに注意が必要だと思う。


思えば、複素数が、四則演算で交換法則を保っていたことのほうが不思議にさえ思えてくる。



また、ここでも分野と人類による対称性の自発的破れが起きており
u・vを
u・v=uv*=(a+ib)(c-id)
と定義する分野があったり、
u・v=u*v=(a-ib)(c+id)
と定義する分野があったりするらしい。
(複素数uの複素共役をu*と表現している。掛け算の記号ではない)