偶奇関数同士の和についてと、偶奇関数の積が偶奇数の和になる理由について

この前の日記のAについて考えていたら、1-cosθって何かに変身するよねって話になったんですよ。


 ド・モアブルの定理(倍角の公式)を使うと

になるのでぶち込んでみたんです。



・・・
周期違うから約分できないじゃん！！！クソ面白くもねえー！！！


とりあえずグラフの概算を・・・周期違うからやりづらい！！！




つうわけで元の式のまま考えることにしました・・・




偶関数から偶関数を引いて奇関数で割ると・・・周期2πの奇関数っすね、はい。






だんだん話がずれてきまして
そういえば偶関数と奇関数の積については「偶数と奇数の和と同じ」と考えたことがありましたが
偶関数と奇関数の和については考えたことがありませんでした。

 
関数同士の積についてはこうでした。

商については逆元を取ってもいいですが、縦と横どちらを割る側にしても表は変わりません。


じゃあ和は？
 
こうなりますね。
これも和じゃなくて差にしたところで表は変わりません。
偶関数と奇関数の和や差がどうなるかは一概には言えません。




ではどうして、偶関数と奇関数の積は偶数と奇数の和のように振る舞うのでしょうか。

これは、偶数・奇数で捉えるよりも、正の数と負の数の積で考えたほうがよさそうです。

 
こういう関係になりますよね。

 
この正の数と負の数の代表として、プラス1とマイナス1を挙げて表を作ってみますとこうなります。


このプラス1というのがマイナス1の2乗であることに注目しますと
 
正の数と負の数、これがそのまま偶関数と奇関数にも言えるのですが
これらの積はちょうど肩の数の和、

つまり指数同士の和になっていたから、

偶関数と奇関数の積はその指数である偶数と奇数の和になっていた

ということができるでしょう。どうして関数の積が偶奇の和と同じ構造をしていたかの答えです。


かつて実数の世界しか知らなかった我々は
このプラスとマイナスしかない世界の指数は偶奇つまり2で割ったあまりの状態しか知りませんでした。


しかし、複素数にまで対象を拡張させると、実に様々な数で割ったあまりの指数が見えてきます。


たとえば虚数単位iについては
 
指数が4で割ったあまりになりますし


1の3乗根ω=(-1+i√3)/2は
 
文字通り3で割ったあまりの構造をしています。ωのワルツです。


 
虚数単位 (1の4乗根) のこの表を、このように間引きすると
実数の世界が見えてきます。実（につまらない）数の世界とか言ってはいけませんよー。




ところで、yをxの関数とするときy=0は偶関数でも奇関数でもあるといえるみたいですね。
もしかしたら素数区分における「1」のように、どちらでもないのかな？とも思ってぐぐって見たのですが
そのような見解は見当たりませんでした。
ただまあ、y=0を偶関数や奇関数に掛け算するときは注意が必要？ですね。
場合によってy=0を偶関数とするか、奇関数とするかが違ってきますからね。
といっても足すときは「何もしない」し、かけるときは「全部ゼロにしてしまう」
ので考えるまでもないんですけどね。


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