回転行列の固有ベクトルとはなにを意味するのか

 
3次元の回転行列の固有値なんて求めても得るものなんて特にないっしょ
って思ってたんですが
固有ベクトルを求めてみたら・・・確かに興味深いかもしれません


固有値がオイラーの公式になるのは除くと、固有値＝1だけが残ります。

この固有値=1を回転行列にぶち込んで永年方程式を解くことになるんですが
 
z=(1-cosθ)/sinθ×y
と
z=-sin/(1-cosθ)×y
の連立方程式になるんです。

これホントに永年方程式なんですか？って感じなんです。
上の式から下の式を引くと恒等的に
z-z=0=2/sinθ×yになるんですよねこれ。

じゃあy=0ってことなんでしょうか。
同様にy-yをやっても恒等的にz=0という結果が導かれます。

でも、上の式と下の式を掛け算すると、また違った趣が出てきまして
z^2=-1(yにかかわらず)
あるいは
y^2=-1(zにかかわらず)

が算出されるんですよ。

これはy=z=0でいいんですかねえ？


もしそうだとしたら、残ったxだけが任意の値を取れることになり、
結局固有ベクトルは(x,y,z)=(1,0,0)になって
これは回転軸のベクトルなんですよ。



じゃあですよ
2次元平面に限定したほうの回転行列の固有ベクトルってなんなんでしょう？
固有値がオイラーの公式で、固有ベクトルが(x,y)=(1,±i)っていうやつです。
まだ見ぬ虚軸が回転軸？？


もしかして、パウリ行列ってこの辺をきっかけにスタートしたのでしょうか？



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ところで、
2行2列の行列と、要素が2つある複素数を組み合わせると、自由度が4になる・・・
なぜ自由度は2×2×2の8ではなく4つしかないのか。
行列っていうのがいわゆる「線形」だからなのでしょうか


2×2の行列の行列式を求めると、時々0になることがありますよね。
つまりはこれが連立方程式が永年方程式になる条件なんですけども
ということは、2行2列の行列というのは4つの要素が独立なのではなく
2対が線形従属の関係にある、実質「要素が2つの状態」なのではないかと思ったのです。

そうすると、エルミートかつユニタリなパウリ行列が過不足なく(単位行列も合わせて)4つで
自由度4の4次元を表せることにも納得が行きそうなのです。



そして、そのパウリ行列が4次元を表し、クォータニオンとも関連していて
なおかつ単位行列や実数だけハブられている感じと
物理的な3次元には特に厳密な接点などなく
たまたま1つの自由度が余ったんだよ

ということだとしたら、別に「3次元」の「空間」の物理が数学に強いられているということもない
ことになります。


時間だけが異質なのも数学とは何の関係もなく、
もっと高次元が物理的に存在していても構わないし、ガンマ関数が関わる超球だってあってもいい
と言えそうなのです。


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ちなみに、あるサイトを見てわかったんですが
4、5次元あたりで超球の表面積や体積が最大化する
というのは謎でも何でもなく当たり前のことらしく、4、5次元は特別でもなんでもないらしいです。

直径(2π)を基準にするか、半径(π)を基準にするかの違いで、当たり前に見えたり謎に見えたりするだけらしいです＾＾

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