パウった～！！！！

アニメの話ではありませんが3Dのgifアニメでの回転シミュレータ解説の話です＾＾
 
３次元の回転行列を使った回転だと、ジンバルロックという現象が発生する
というのを以前から聞いてはいまして
「そこで登場するのがクォータニオンだよ。」

とは言ったものの、虚数単位が3つもある数学形態を自作するっていうのはできるのかどうかと不安だったのです。

パウリ行列がクォータニオンのまんま代わりになると知ったのは割りとつい最近でして

あるクォータニオン  との積が
クォータニオンでもパウリ行列でもでまったく同じになるというのは衝撃ゴウライガン！！でした。 

クォータニオンでは
  と書き、大文字のIは3つとも虚数単位で
虚数単位同士には
  
といった、ベクトルの直交関係にも似たようなルールがあるのですが


パウリ行列(エルミートかつユニタリ)
同士の間にも

と、iの分だけずれたようなルールがあって
 
実は 
ディラックのデルタとエディントンのイプシロン
(小文字のiは1つだけの虚数単位：クォータニオン(四元数)ではなく複素数)
と置くことで、いとも容易くクォータニオン同士の積と、パウリ行列系列同士の積が と一致してしまうのです。





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回転させるとき

規格化されたベクトルn(n1,n2,n3)を回転軸に、P(x,y,z)というベクトルをθだけ回転させたい場合は
 
クォータニオン
と、その複素共役  

を用意して、
回転後のベクトルP'は

P'=QPQ*

で表されます。

クォータニオンで具体的に表記してみますと

   
こうなり

パウリ行列系で表記すると

こういう形になります。


ちなみに、
ベクトルx,y,zをパウリ行列に入れるときは、具体的にはこうなりますので
 (歪エルミートですね)

結果の行列からx'、y'、z'を取り出したいときには行列の4要素を一旦a,b,c,dと置いて
  
このように算出するとよいです。

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ところで、Excelには複素行列に対応した強力なアドインがネットのどこかに転がっていまして
固有値・固有ベクトルを求める関数こそエルミートではなく実対称行列までが対象なのですが
多くの行列演算関数が複素数対応なのです。


以上のことを踏まえますと、
虚数単位が1つしかないExcelでも、うまくすれば3D回転シミュレータが作れるわけです。



そんなわけで作ってみました。＾＾
 

可視化するとこんな感じです。循環参照を使って逐次回転させてます。
ダウンロードは←こちらからよかったら遊んでやってください＾＾
→素朴ver
 

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