複素べき乗根を機械的に解く際の注意

コンピュータで複素数のべき乗根を計算する際は注意が必要ですね。


たとえば-1/27の3乗根をExcelで計算する場合ですが

そんなん-1/3だろうｗｗｗと思うかもしれませんが

コンピュータはあくまで素直に計算するんです。

impower(-1/27,1/3)
とやったら複素数の主値が出ます。


1の3乗根の1ではない複素数の1つであるω=(-1+i√3)/2を何度か掛け算するとちゃんと-1/3という実数が出されるのですが
3次方程式を解く際などには注意を払わないと変な値が出るようです。



機械的に解く場合、以下のような手順を踏んでいると考えられます。

・-1/27という複素数を、オイラーの公式にそって直交座標から極座標「絶対値と偏角」に翻訳
・絶対値を1/3乗し、偏角を3で割る
・オイラーの公式で、再度極座標から直交座標に戻す


確かにこの方法だと実数でも純虚数でもない複素数が算出されて当たり前です。


そこでこの場合、ちゃんとした(人間の感覚での)3乗根の主値を出すために
「偏角を予め3倍しておかなければなりません」(たぶん)

どうしてかといいますと、本来の複素べき乗根の定義に由来します。

たとえば3乗根を取る際は主値を含めて3つ、n乗根を取る際は主値を含めてn個に分裂するわけですが

これは
元々の複素数z=abs(z)・exp(i(arg(z)))の3乗根を取りたいときに
arg(z)/3というのを
(2πn+arg(z))/3

と(人間が)解釈するからなのです。


だから、3乗根を取った際に
arg(z)/3に2πn/3　(nは0～2、n乗根の場合は0～n-1)
を足さなければいけないわけで、n乗根がn個に分裂する理由はここにあります。



しかしながら、「n乗根」という専用の関数でもない限り
power関数などにn分の1というべき乗の数値を近似的に代入するほかに機械的に計算するすべはおそらくなく、
どうしても主値は思惑とずれるわ、分裂はしないわの踏んだり蹴ったりな状態になることは必至なのだと思います。


これは「4.5時間が3で割り切れるか」などの算出に似ていますね
あくまで「3の倍数か」ではなく「3で割り切れるか」を論点としているのがポイントで
機械的に「割り切れない」としてしまうのがコンピュータ
「約分しきった9/2の分子だけ見て、割り切れる」と時々したいのが人間
といったところでしょうか。
素数が無数にあるため、すべての分母に機械的に対応するのは不可能です。


機械はあくまで分数を理解しないと踏んでおいたほうがよさそうです。


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でもなんか引っかかるな・・・


カルダノの方法の

u^3=-1/27
v^3=1/27

で、
ωu+ω^2v
ω^2u+ωv
u+v

を出すのに、
u=-1/3が主値でなきゃいけない理由ってなんだ？？ωを掛け算する回数かなぁ？
確かにu=-ω/3だったら足すときにωの数が噛み合わずにずれてしまうけども

u^3とv^3が元々実数でも純虚数でもない複素数だったらどれを主値にするべきなんだろう？
そもそも予め偏角を3倍しておく対処でいいのかなぁ
あと一歩理屈付けが埋まってない気がする・・・

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