3分角の公式(自明)

3倍角の公式を、オイラー・ドモルガンの関係から導きます。




二項定理で展開し、実部と虚部を比較すると、3倍角の公式が出来上がります。


じゃあ3分角の公式は？

3x=Xとすると、3倍角の公式は3分角の公式になりますよね

cosxについての3次方程式を解いてみましょうか。

cosx=c、cos3xをc3とでもおきましょうか。

カルダノの方法を用いて、cが実数になる範囲で解いてみましょう。

 

途中で変数を定義しますと、このようになります。累乗根を求めやすいように、極座標にしちゃいましょう。

 

3乗根を取ると、このようになります。
複素3乗根なので多価なんですが、ここでは1つだけ代表します。

 
v1とv2の組み合わせとして、3v1v2=pになるような条件があるのですが、ちゃんと成り立っていますね。

求めたいcは、v1とv2の和です。複素数なら一般に3つあるのですが、実数の範囲内ではこれだけです。

 
それでは、pとqを代入してみましょう。


こうして世にも自明な恒等式が導かれたのであった・・・orz