フィボナッチ数列と母関数と行列の固有値・固有ベクトル・対角化

大学付属の図書館に行ってきました。
「数学ガール」が５巻揃っているのです。貸し出されずに。
貸出手続きは面倒臭いのでその場で読みます。ノート持参です。一人ぼっちでしたー。

無印の数学ガールです。コミカライズ版が手元にあるのでだいたいの流れは知ってるんですが
やっぱり数式部分はコミックだけでは弱いので、いつか読もうと思っていました。
コミック版と違って高いんですよねー


やっぱり無印だけあって、最初の数十ページはちょい退屈でしたが
フィボナッチ数列のくだりは見たことない方法(コミック版でちょい見ましたが)で一般項を導出してました。


一旦「母関数」とかいうのに世界を移して、それから元の世界に戻って導出終わり。
という流れなんですが、ようやく理解はしましたが、いまいち納得がいかないというか・・・寄り道した必然的な意味がよくわからないというか・・・

本書でも「回りくどいやり方」とは書いているのですが本当に回りくどいです。どう見てもありがとうございましたｗｗｗｗ
でもこれ、なんか「数列の一般式」に必須の知識みたいで・・・なんなんですかもう。。。。



僕の知ってる方法、といっても本当に知っているのか疑問ですが
知ってる方法と違うんですよね。
コレジャナイロボですよ。


僕の知ってる方法は行列を使った方法なんです。
でも最後までつながってなかったので、いい機会なのでネットでそれ系のサイトを見てきました。

実は「対角化」の利点がわからなかったのです。
意味は知ってました。でも「だからなんなのよ」だったのです。

Aっちゅう行列があってそいつを対角化したいとき、
Aの「固有値」を求めるんですね
それで、固有値から「固有ベクトル」を求めてそいつを規格化すると、随伴行列でしたっけ？
みたいなのができるんです。この行列の性質がユニタリなんすわ。「大きさが１」みたいな感じです。これをPと呼ぶことにすると
Pの逆行列はPの転置行列そのものなんですね。あ、いや複素だとエルミート共役でしたっけ？今は実数なんで転置でいいですけど。

で、PAP^-1だかtPAPだかすると、見事に固有値だけが対角成分に現れた対角行列が出来上がるんですよ。


そこで僕は止まっていたのです。「だから何？」状態だったのです。


でもこの真骨頂はtPAP=[対角化]じゃなくてP[対角化]P^1=A
こちらの方にあったんですわ。まさにコペルニクス逆回転。


何に使えるかって言うと、Aのn乗がスンナリ出せるんです。
A^n=P×[対角化]^n×P^-1なんで、ただ単に行列の中身の固有値をn乗するだけでAのn乗が求まるんですよ。まさに手計算レベルの簡易さっすよ。


これの一連の流れにフィボナッチ数列のシステムをぶち込むと、
黄金率その１の何乗引く黄金率その２の何乗
とかいう一般項の式が求められるんですわ。

[φ^n-(-1/φ)^n]/[φ-(-1/φ)]
でしたっけ。φ：黄金率その１。x^2-x-1=0の解の大きい方、プラスのほうです。




ところで、ミルカさんがテトラさんを蹴飛ばしたくだりの「ぼく」のフォローは本当になにもないんですね(笑)らしいっちゃらしいっちゅうか



角な機体はしないでくださいねー

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