求心力と遠心力と保存力と次元

なんとなーくだけど、距離の2乗に反比例する引力の運動方程式を解いたことがなかった気がする

教科書どおりに、惑星の運動が解かれる過程を目で追ったことはあったけど
もうかれこれ15年も前の話で
それを数値計算したことも一度もなかった気がするし
1次元の場合に簡単化して解析的に解こうとしたことすらなかったような気がする。


d^2x/dt^2=-K/x^2

を解こうとしたら

x''+K/x^2=0

となって、こういう微分方程式を解いた覚えがたぶんない。
どうやって解くんだコレ。
いちおうは非線形ではないだろうが(そもそも非線形微分方程式の定義がよくわかってない自分)
変数変換して解けるもんだったんだろうか。
もしかしたら例題で解いたことがあったのかもしれない。


しかしなんだ、
これをいざ数値計算にぶち込むと
どんな初期値でも軌道が発散しかしないように見えるのだけどどうだろうか


もしかして1次元には遠心力という概念がありえないから発散しかしないのだろうか


2次元だととりあえず、初期値次第で楕円軌道に収まるみたいだ。


そういえば力が距離の2乗に反比例するのは3次元空間に点としてのナンラ荷(質量or電荷)が存在する場合だった。
理由は球の表面積。


じゃあ3次元空間上に線ナンラ荷(無限の長さ)や平面ナンラ荷(無限の広さ)があったらどうなるか
距離のn乗のnが1つずつ減っていって
線電荷だったら1乗、平面質量だったら0乗(なので変化しない)になるだろう


じゃあこれが4次元空間上に浮遊する1、2、3次元状のナンラ荷から発せられる力だったらどうなるんだろうか
たぶんn次元上にあるm次元状物体から発せられるナンラ荷による力は
超球の表面積の理論から
距離のn-m-1乗に反比例するんじゃね？って感じ気がする。


そういや距離のn乗(いちおう整数にしとく)に反比例する力は全部保存力でいいんだっけ？
確か、任意の経路で移動させてみてエネルギーが保存すれば保存力なんだよな。


じゃあそっか、n=1次元だったらmで引きようがないから求心力としては意味がないのか。
(マイナス乗に反比例：比例はとりあえず考えないことにしよう)
以前、巡回セールスマン問題の難易度と1次元っぽさの関係とか
生まれつき電車のレールに沿って走る擬似的な1次元人がいたとして彼らに無理数や複素数の概念が発見できるか
みたいなことを書いたことがあったんだけど
やっぱり1次元は2次元以上に比べて特別な感じがするなぁ
大小関係が定義できるのは1次元だけだし。




次元といえば、単位の規格化ってのが苦手。
っていうか規格化したら次元解析できないから有益かもしれないけど有害だとも思うの。

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