ローレンツの伸縮公式(仮)

ロドリゲスの回転公式は以下のようなものだった。

行列指数関数の中身Rが歪エルミート、とりわけRの中身が実数つまり交代行列なので、
できあがる行列指数関数Mそのものは、ユニタリ行列となる。
それも、
「Mの行列式の絶対値」abs(detM)=1
ではなく
「Mの行列式がそのまま」detM=1

1になるので、「特殊」ユニタリと呼ばれる。

この行列が物理的にどのように意味しているかは、「任意軸の3D回転」と思えばいい
ある3次元のベクトル(x0,y0,z0)があって、その長さをθとおくと
θ^2=x0^2+y0^2+z0^2となるので
(a,b,c)=(x0,y0,z0)/θ
と定義すると、この(a,b,c)は(x0,y0,z0)と向きは同じで、長さだけが1に揃えられた、
単位ベクトルとなる。

この単位ベクトルを回転軸とし、
θの角度に比例した回転をさせる
それが、ロドリゲスの回転公式の意味するところだ。


じゃあ、この行列Rが交代行列ではなく、実対称行列だったらどうなるだろうか？
複素行列でいえば、
「行列指数関数の中身が歪エルミート行列ではなくエルミート行列だったら？」

という意味である。

歪エルミート行列はエルミート行列に虚数単位iを掛け算することで作りだせるので
言ってみれば、行列板の実数がエルミート行列で、純虚数が歪エルミート行列といえよう。
純虚数が中身の指数関数はオイラーの公式から、複素平面での単位円状にある複素数であるといえるし
実数が中身の指数関数は、単に実数であるといえる。


これが実は
行列指数関数にも同じ理屈が通用し
中身Rが歪エルミート行列だったら行列指数関数Mそのものはユニタリ行列となり
Rがエルミート行列だったらMもまたエルミート行列となる。


ただし、「特殊」がつくユニタリ行列は、abs(detM)=1だけでなく、detM=1がそのまま通用する。


特殊ユニタリ行列では、Rのことを生成子と呼ぶ。

このようなことが、歪エルミート行列ではなく、エルミート行列を中身(生成子)にした
行列指数関数でいうことはできないのだろうか？


実はこれが可能であり、
この物理的な意味は、特殊相対論のローレンツ収縮と同じものとなる。


このような、4次の対称行列を考え、生成子として行列指数関数に入れる。
a^2+b^2+c^2=1のように規格化されている場合、
以下のような式が成り立つ。

expR=E+Rsinhθ+R^2(coshθ-1)

上に書いた式とこの式2つは、いわば実数行列版のオイラーの公式である。

Rが規格化された歪エルミート行列の場合、R^3=-Rとなり
Rが規格化されたエルミート行列の場合は、R^3=Rとなる。
前者はマイナスRで、後者がプラスのRであることに注意してほしい。

また、1本目のオイラーの公式は三角関数であったのに対し
2本目のオイラーの公式は双曲線関数になっていて
カッコ内が(1-cosθ)から(coshθ-1)と、符号が変わっていることにも注意してもらいたい。
R^2が虚数単位の2乗のように効いてきているのである。


よって、

このように書けて、detM=1でありかつ、実対称行列でもあるMが生成される。
いわば「特殊」エルミート行列といった感じである。(群ではない)

この行列は特殊相対論のローレンツ収縮を意味しているといったが、具体的にいうと

このように、4次元のベクトルに掛け算すると、任意軸方向に伸び縮みする空間、と時間
を表現することができるわけである。
伸縮のためのベクトルがそれぞれ(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)のときを想像してもらうとわかる通り、
それぞれx、y、z軸方向のローレンツ伸縮の公式になっていることがわかると思う。


もし、これを相対論関係なしに、空間での伸縮だけに用いたいときは簡単で
4次行列をトリミングして、右下だけの3次行列を用いればよい。



しかしこれでは、coshθ≧1なので、正の伸縮にしか使えなくて不便であるし
θの物理的意味がピンとこないのも不便だ。

そこでcoshθ=Hとおいて、Hを伸縮倍率とし、
H<0も許容してやれば、実は万事解決する。




ところで、H=0のときに何が起きるか
実は伸縮「ゼロ倍」が起きている。つまり、伸び縮みする方向にだけ、厚みが消えるのである。


余裕があったら、この式のaやbやcだけを1にして、Hも負数やゼロにして
この式の意味を確かめてみてほしい。

このように
純粋にx,y,z軸それぞれの方向への伸縮になっているはずだ。