特殊ユニタリ群SU(4)と特殊直交群SO(4)の生成子

pixivにあげたのとほぼ同じことを書きます。悔しいけど。


4次行列のエルミートで単位的なやつって、この15個じゃないすか。
これが特殊ユニタリ群SU(4)の生成子なんですけど


そのうち、純虚数だけでできたやつだけ抜き出すと、この6本だけになりますよね。

これが特殊直交群SO(4)の生成子になります。

4次元空間の回転を表す種です。種というか軸というか。
独立な回転軸が4C2=6本あるわけですね。

4種類のx軸がある4次元空間で
i番目のx座標と、j番目のx座標でできた平面内を回転するものをσijと定義すると

-iのついているのがi行目とj列目といった感じで理解可能です。

そうやって名付けていくと

σ1→σ12
σ4→σ13
σ6→σ23
σ9→σ14
σ11→σ24(じゅういち→に・よん)
σ13→σ34(じゅうさん→さん・よん)


ただし、σ13だけは、σ4=-σ13=σ31として定義します。

これは何のためかというと
12→23→31→12・・・といった風にレビチビタ的に回ってほしいからです。
マッチ・ライター、厳禁(ロジックWC)が
ラッチ・タイマー、厳禁(ロジックIC)になる感じのアレ

それから、

σを3つずつ2組に分けます。
添え字に4が入ってるやつと入ってないやつです。

グループL
σ12
σ23
σ31

グループM
σ14
σ24
σ34

またしても添え字を定義しなおします。
グループLの添え字の変更ルールは
「入ってないものを添え字にする」
1～3までしかないので、たとえば12だったら3が入ってないし
23だったら1が入っていないので

σ12=L3
σ23=L1
σ31=L2

となります。

グループMの添え字変更ルールは
「1文字目を添え字にする」これだけですので
σ14=M1
σ24=M2
σ34=M3

となります。

あとは、6つの行列に-iを掛け算すれば準備は完了です。

つまり
-iσ12=L3
-iσ23=L1
-iσ31=L2
-iσ14=M1
-iσ24=M2
-iσ34=M3

というわけです。


さて、この交換関係は次のようになります。

[L1,L2]=iL3
[L2,L3]=iL1
[L3,L1]=iL2

[M1,L2]=iM3
[M2,L3]=iM1
[M3,L1]=iM2

[M1,M2]=iL3
[M2,M3]=iL1
[M3,M1]=iL2

もちろん、交換関係ですので、左右を入れ替えると符号が反転します。
これをまとめるとレヴィ・チビタの記号(エディントンのイプシロン)を用いて

[Li,Lj]=iΣ(εijk・Lk)
[Mi,Lj]=iΣ(εijk・Mk)
[Mi,Mj]=iΣ(εijk・Lk)

となります。


2次の2ペアに分解、までたどり着けませんでした・・・＞＜
2つのSU(2)あるいはSO(3)に分解されるんだそうです。