量子ゆらぎをブラウン運動としてみるシリーズその１

まず自由電子、まあ電子じゃなくてもいいんだけど、束縛されてないミクロの粒子の波動関数


時間依存する3次元のシュレディンガー方程式はこうでしたね。
∇は演算子であるとともにベクトルでもあり、その絶対値の2乗を取るとか、空間微分∇につくディラック定数の2乗の由来は、時間微分につくプラスの虚数単位ではなくマイナスの虚数単位がついたものの2乗だとか、そういうところをきちんとしてやりたい癖はこの際どうでもいいです



変数分離法で波動関数を時間と空間に分離してψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)ψ(t)
さらに空間を一次元だけで考えてみますと、このような偏微分方程式になります。




さらにポテンシャルV=0なので

時間に関する1階の常微分方程式と、空間に関する定数係数線形同次2階の常微分方程式を解けばいいことになりました。

あとは波動方程式ψを指数関数と仮定すれば解けます。


これらは特殊解なので、線形結合したやつが一般解になるわけですが
とりあえず１：１の割合で線形結合してみますと



こんなんなりますよね。




ここで、ネルソンの確率力学

に波動関数を盛り込んでみましょう


とりあえず今は、雑音成分Aは考えません。


求めた波動関数は、x座標に関してまとめて実数化できるので、対数が取りやすくなりました。



実部と虚部をそれぞれxで偏微分して足し合わせると

最終的にこんなんなりました。



でも、１：１以外の線形結合だと対数取りづらいですよね。
 ではまたあした。



井戸端トンネルポテンシャル

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