量子ゆらぎをブラウン運動としてみるシリーズその２

ブラウニアン量子、前回までは！

ランジュバン方程式またはフォッカープランク方程式を量子力学に転用したネルソンの確率力学(確率過程量子化)では、重ね合わせた波動関数の対数を取るのがちょっと困難だった。
とりあえず束縛されていない自由粒子の力学を考えてみた。

あらすじおわり。
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時間に依存しないシュレディンガー方程式の特殊解は2つあり、一般解は特殊解の線形結合で表される。なお、係数は規格化の対象となる。

波数をkとすると、＋kと－kを１：１で重ね合わせた波動関数ψ(x)はちょうどcosの形にできて、対数が取りやすかった。

しかしながら、任意のウェイトで重ね合わせた場合、そのまま対数を取るのは困難

たとえピタゴラス数を用いて３：４にしたところで徒労となる。


そこで、重ね合わせた波動関数ψを

と仮定し、三角関数や指数関数の関係(オイラーの公式など)を用いて、重ね合わせる前の波動関数ψ1とψ2と照らし合わせるテクニックが必ずや必要になってくるだろう！フハハハハ！


上の式の実部と虚部をそれぞれ比較すると次のようになるので


RとSをR1、R2、S1、S2で表すには、それぞれ2乗和を取ったり下のsinの式を上のcosの式で割ってtanSを求めたりすればよい。




しかし、この方法で昨日求めた１：１の波動関数の対数を計算しようとすると


とかいう謎の数式にたどり着くかもしれない。
同じ式を2つのアプローチで展開しただけなのにどうしてこんなことになるのか、数式を久々にいじった僕は、誤植に定評のある本を参考にしていただけに、途方に暮れてしまった。

他の式で試そうにも、１：１以外の重ね合わせは複雑で、やる気が起きない


いや、だがちょっと待ってほしい。
そこは量子力学なんだから、１：－１の重ね合わせも可能なはずだ。

そうすると、今度はコタンジェントxと、

という、これまた違った結果になってしまった。


気分転換におやつをほおばりながら数式を眺めていてふと気づいたんだが
１：１の場合はx=0でどちらの式もゼロになり
１：－１の場合はx=0でどちらも「ゼロによる除算」になる。
( は0/0なのではと一旦は思ったが、ロピタルの定理を使ってやっぱり1/0だという確証を得た)

そこでようやく、昔やった計算がなんとなくよみがえってきた。
この2種類の式は同一のものではないのか！？

検算するのが面倒くさくなる年頃なので、googleでサジェってみた。
確かにsin2x/(1+cos2x)=tanxで、sin2x/(1-cos2x)=cotxだった！
 
 
 つづく

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