量子ゆらぎをブラウン運動としてみるシリーズその３

ブラウニアン量子、前回までは！

ネルソンの確率力学(確率過程量子化)

(rは座標のベクトル、mは粒子の質量、ψは波動関数、Δtは時間の刻み幅、∇は3次元空間による偏微分、Reは実部、Imは虚部、ベクトルAは平均値がゼロで分散が1の乱数、そしてhにバーがついたのはプランク定数である)
にしたがうと

一次元の束縛状態にない自由粒子の波動関数の重ね合わせが

の場合はΔx/Δt=-Atankx

次のような場合は、

Δx/Δt=Acotkx　であることがわかった。

これは物理的にどのような意味合いを持つのだろうか

あらすじおわり。(AやBは定数、kは波数)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝
 Δx/Δt=-Atankxというのは、x=0で速度がゼロ、xがプラスだとマイナスタンジェントの割と強い復元力、バネのようなもので原点に戻されるイメージだろう

どうして原点に戻されてしまうのだろうか？


とりあえず雑音成分ベクトルA=0の状態で、x-tの図をグラフに取ってみると、
xが最初からゼロでなくても、時刻の経過とともに、すぐにゼロに収束する状態が描かれる。
また、Δx/Δt=cotkxの場合は、π/2に収束するようだ。




xの初期値をいろいろ変えてみても同様だった。x1がtan、x2がcot


ここで、初期値の範囲を0～1から0～10に変えてみよう。

すると、収束先がゼロとπ/2以外にもあることがわかってきた。
(コ)タンジェント関数がπ周期の周期関数だからである。

図の右のほうに青めの文字で「収束先の位置／(π/2)」を表示するようにしてあるのだが
見事にどれも整数になっている。

つまり、収束先の位置がπ/2刻みに離散化されているというわけだ。
(うっかりしてた、π/2じゃなくてπみたいだ。x1は偶数、x2は奇数になっている)

波数kも変えてみた。今度は青文字にxk/(π/2)を表示してみた。するとやはり整数になった。


ということはこれは紛れもなく不確定性関係ではないか。

なぜ束縛していない量子が不確定性関係を築くようなDV環境になってしまったのだろう？

と思ったが、事は単純だった。
「波数プラスkとマイナスkを同じ振幅で重ね合わせ」にしたのだから、運動量がゼロに固定されていたわけだ。これはまさしく束縛状態だ。だから不確定性関係にしたがって位置が離散化されて当然だ。


みんなも、無自覚なDVには気を付けよう！


つづく
 
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