KSC：サイン・コサイン・ウサインボルト～家宝を低利で地味に資産運用～

そういえば昨日の日記を書いたあとに気づいたんですが

三角関数の加法定理自体の符号をどう覚えればいいのか書くのを忘れていました。

昨日述べたのは「”加法定理を使った”符号の判別導出」でしたね＾＾；ごっちゃになってました。ｻｰｾﾝ


加法定理は
sin(a＋b)=sina・cosb＋cosa・sinb
cos(a＋b)=cosa・cosb－sina・sinb

なのですが
コサインのところがマイナスで、サインのとこがプラスなのをどうやって覚えればいいのかというと

1項目と2項目、aとbをそれぞれ入れ替えてみてください。
入れ替える前と後で同じ式になるということは足し算の交換法則が利くのでプラス
入れ替えて前後が違う式になるということは足し算の交換法則が利かない、
つまり引き算なのでマイナス
という覚え方ができますます。

具体的に言うと以下のようになります。
サインの加法定理は
sin(a＋b)
=sina・cosb＋cosa・sinb
=cosa・sinb＋sina・cosb
=sin(b＋a)

cos(a＋b)
=cosa・cosb－sina・sinb
=－sina・sinb＋cosa・cosb
≠sina・sinb－cosa・cosb
≠cos(b＋a)

コサインの加法定理は項の中で対称性を保っているのですが
サインの加法定理は項の外まで対称性を保っているのです。


慣れれば3秒で
いや、5秒で符号の導出可能です。

思いっきり簡略化して
ca+b=cacb-sasb
sa+b=sacb+casb
とかって書くと時間短縮になります＾＾
まあ何度も導出していくうちに符号も含めて指が覚えてしまうんですけどね。


ところで昨日の話、sin90度＝cos0度だけで比べるのは危なっかしいです
うっかり
cos（－90度）＝sin0度
のほうで思い出してしまうと
cos（＋90度）＝sin0度
でもあるのでsin±90度＝cos0度どっちだったかなと疑問を持つ間もなく誤解することになりねないのです
関数のグラフを描いて、どっちが進み位相だから･･･っていうのもイマイチだと思います。

まあ、0度、90度、180度、270度の4点全部で確かめれば済むっちゃ済むんですけどね



ちなみにオイラー(ド・モアブル？)の公式から加法定理を求める方法は

exp(i(a+b))＝cos(a+b)+isin(a+b)＝(cosa+isina)(cosb+isinb)＝exp(ia)・exp(ib)
のカッコを展開して、実部と虚部をそれぞれ比較してみてください。
実部がコサイン、虚部がサインの加法定理になるはずです。


三角関数って最初はサイン優勢なのに、いつの間にかコサイン優勢になっていくんですよねー

にほんブログ村