UI：直流モータの出力波形(UIは使用人内の顔)

直流モータを発電機として使ったとき、回転数に応じて出力ピーク電圧は変わるだろう。
おそらく、回転角速度をwとすると、出力ピーク電圧はwに比例する。

その出力波形は全波整流になると予想されるが
その周期Tは回転角速度wに反比例することになるだろう。

この全波整流はsin波形の絶対値を取ったものになるだろうが
全波整流の周期はsin波形の周期の半分と等しくなる。

式にするとこうなる
全波整流の周期をT_z
sin波形の周期をT
回転角速度をw
とすると
T_z=T/2
T=2π/w

また、回転角速度の基準w₀を定義し、そのときの出力ピーク電圧をV_m0、基準回転角速度の整数倍の角速度をwとすると
nを自然数として
V_m=nV_m0
w=nw₀
が得られる。

よって、この出力電圧波形は次のような関数になると予想される
V=|V_m・sin(wt)|=|nV_m0・sin(nw₀t)|

この電圧の2乗を基準周期T₀で平均すると、
T₀=2π/w₀なので、次のような式で表される。

∫V²dt/T₀=(∫|nV_m0・sin(nw₀t)|²dt)/T₀　(0≦t＜T₀)
=w₀(∫(nV_m0)²・sin²(nw₀t)dt)/(2π)　(0≦t＜2π/w₀)

振幅Aのsin関数を2乗すると、定数A²/2と振幅A²/2のcos関数の和になる
このcos関数を0から2π/w₀で積分すると打ち消しあって0になるので
一定値A²/2だけを積分する、よって

∫V²dt/T₀
=w₀(∫(nV_m0)²/2dt)/(2π)　(0≦t＜2π/w₀)
=w₀(nV_m0)²(2π/w₀)/(4π)
=(nV_m0)²/2

n=w/w₀を代入すると
=(wV_m0/w₀)²/2

つまり回転数(回転角速度)の2乗に比例する結果となる。
これはすなわちエネルギーなので、
慣性モーメントI、角速度wで回転している物体の回転エネルギー
Iw²/2
と比較してもちゃんと回転数の2乗に比例している結果と一致する。


そうするとなぜモータの出力電圧からエネルギーを算出する場合のみ、回転数が基準回転数の整数倍に限定されなければならないのかを考えてみたんだが、
それはモータの出力電圧が回転エネルギーの射影だからなのではないだろうか。

オイラーの式
exp(iwt)=cos(wt)+isin(wt)
のexp(iwt)の絶対値が常に1なのに対し、その実部および虚部の絶対値は時々刻々と変動するのと同じ根拠を持つのではないだろうか。



そうすると、直流モータ同士をシャフトでつないで片方を電源に、もう片方をクリスタルイヤホンと直流電圧計に並列に接続した場合、
電源の出力を2倍にすると電圧計の振れは2倍になり、イヤホンからは1オクターブ高い音が聞こえる結果となり、音色は全波整流波形の音色になるだろう。