XR：昨日は円周率の日だったということで

円周率の想いにふけってみた。

白の日じゃないよ＾＾
円周率の日だからね
google公認だったんだから！




正六角形から円周率の範囲を推定することができる件について。

一辺が1cmの正三角形を6つ並べると正六角形ができる。
この六角形の外周は6cm
外接円の直径は2cm
このことから、外周／直径で円周率は3付近であることが推測できる。




今度は正六角形に内接する円を考える。
外周は6cmと変わらないが、内接円の場合は半径および直径が違ってくる。
半径は正六角形の中心から辺の一番近い点までの距離なので
これは正三角形の高さに相当する。
正三角形の角はみな60度なので、
一辺1cmの正三角形の高さはsin60度で√(3)/2になる。
直径はこれの2倍なので、√(3)である。
外周／直径は6/√(3)を有理化して2√(3)≒2×1.7＝3.4であり、この付近に円周率があると推測できる。


円周率の推定値として3と3.4が与えられたので、真の値はその間であると推測できる。







さて、今日では円周率は膨大な桁数で近似されている。
僕は3.14159265358979までは覚えてはいるが
もっと効率よく暗記する方法はないだろうかということでまず思い当たるのが小数にvsするべき概念、分数である。

3.1415までの5桁を333/106で近似することができる。
1と0を除けば3と6だけでできているので覚えやすいし
分母も分子も整数なので人によっては拒絶反応が起きにくいかもしれない。


ではこの333と106はどのように導き出されたのかを説明しよう。

3.1415より1桁だけ多い3.14159がわかっているとする。
この整数部分は3である。
残りの0.14159の逆数は7.0626･･･だが、この整数部分は7である。
この残りの0.0626の逆数は15.9628･･･なので、この整数部分は15である。

この3つの整数3、7、15を使って今から333/106を組み立ててみよう。

3+1/(7+1/15)
これを通分すればいい。
7+1/15は106/15なので
今度は3+15/106を通分すると、333/106になる。

このような方法を「連分数」というらしい。



実は「223/71と22/7の間」という分数表記法もあるようなのだが、どうやって導かれたのか詳しくはわからなかった。

どうにも96角形で近似したらしいのだが、
僕が導出するとどうしても5重の√が取れない
こうなる
48√(2-√(2+√(2+√(2+√(3)))))
ルートの和訳は「根」なので、連分数に習って「連根」でぐぐってみたのだが
googleに「もしかして蓮根？」と指摘されたので萎えてしまった。



355/113なんかは奇数最初の3つだけで3.141592の7桁近似が可能！

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