YX：11で割った余りに関する証明

よーしっ、意気込んでやってみますか！
過去のコピペ改造だけど。


n桁の整数を11で割ったときの余りに関する証明
とある大きな数の、
下から数えて奇数桁目の数-偶数桁目の数が11で割った余り。

例題
121の左端の1をテキトーに移動させて121以外の11の倍数を作れ。

回答例
左端の1を1つ飛びに移動させればおｋなので
10021や1000021などが11の倍数。
空白ができたので2も移動させてみる。
12001や1002001や1200001なども11の倍数。


証明開始

具体的には
∑(10^2k+1*a_2k+1+10^2k*a_2k)を11で割った余りは∑(a_2k-a_2k+1)を11で割った余りと等しいことの証明 (k：0～n、a_nは任意の整数)

∑(10^2k+1*a_2k+1+10^2k*a_2k)=11c+d₁　(余：d₁は0～10の整数、商：cは任意の整数)①
ならば
∑(a_2k-a_2k+1)=11c+d₂　(余：d₂は0～10の整数)②
だと
d₁＝d₂である
ことを証明したい。



ので
①-②を行う
∑(a_2k-a_2k+1)-∑(10^2k+1*a_2k+1+10^2k*a_2k)+11c+d₁ =11c+d₂　
(kは1～n)
とすると、
∑((10^2k+1+1)a_2k+1+(10^2k-1)a_2k)+11c+d₂ =11c+d₁　

d₁-d₂=11c+∑((10^2k+1+1)a_2k+1+(10^2k-1)a_2k)
なので11の倍数

とするにはまだ早い。
すべてのnにおける10^2k+1+1と10^2k-1が
11の倍数でなければならない。

以下の(1)を召還して、10^2k+1+1と10^2k-1が11の倍数であることは証明されたので
d₁-d₂は11の倍数

しかしd₁とd₂およびd₁-d₂は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10の値しか取れないので
そのうちで11の倍数は0しかない
つまり
d₁-d₂=0であり、両者は同一。　証明終わり




(1)
10^2k+1+1と10^2k-1がすべてのnにおいて11の倍数であることの証明
数学的帰納法を使う
10^2k+1+1=11c　(商：cは任意の整数)
10^2k-1=11c　(商：cは任意の整数)

10¹+1=11は11の倍数である　①a
10⁰-1=0は11の倍数である　①b
あとは
10^2k+1+1=11cならば　②a
10^2k-1=11cならば　②b
 
10^2(k+1)+1+1=10^2k+1*10²+1=11c　③a
10^2(k+1)-1=10^2k*10²-1=11c　③b
 
であることを証明すればよいので
③に②を代入する
(11c-1)*10²=11c-1　④a
(11c+1)*10²=11c+1　④b
1100c-11c=1089c=100-1=99→c=11　a
1100c-11c=1089c=1-100=-99→c=-11　b
が成立する整数cが存在するので
10^2k+1+1と10^2k-1は11の倍数
kを最初に1と置けば順次2以降の証明も全自動的にやってくれる。

証明終わり。



↓3や9で割ったあまりほどゾッコンしませんでした

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