ZEC：税込111,111円の税抜価格は105,820円で、きっちり割り切れる

税込価格は3と5と7の倍数でなければならない

なぜか？
税抜価格を整数にしなければいけないからーーー！！！１

※ただし、消費税率5%に限る

というのは半分冗談だけども、

なぜ税率5%の税込価格が3と5と7の倍数なのかというと
税率5%を税抜価格に加えた金額は
税抜価格の105%(100%＋5%)であり、105%＝105/100なわけだし
105＝3×5×7であるからだ。


以前は、税抜価格ありきで税込価格を計算していたが事情は変わった。
税込価格ありきで税抜価格を計算する時代になり
税込価格が必ずしも105で割り切れない。
税抜価格を計算する際に、割り切れない思いを噛み締めなければいけない時代に突入したのだ。



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ところで、1.89円のように、3×7＝21で割り切れれば、
別に5の倍数じゃなくても、途中で割り切れてしまう。
税抜価格1.8円だ。これは整数じゃない。

倍数じゃないこと＝割り切れない

ではなかったのか！？

実は少しだけ違う。

これは我々の使う数が10進数であることに起因している。
10＝2×5なので、素因数に2か5しか含んでいない数で割り算をすると、
倍数＝整数倍でなくとも必ずどこかで割り切れてしまうのだ。

_{素因数というのは、因数のうち素数であるもので、
この因数とは掛け算のもとになるもの、
素数とは1かそれ以外で割り切れないもの
のことをいう。
2は1か2でしか割り切れないので素数。(唯一の偶数素数)
7も、1か7でしか割り切れないので素数。
ちなみに、1はたいていは素数に含まれない。}


ある数YがXの倍数かどうかというのは、
噛み砕いて難しく考えてみると
Yの素因数に、Xの素因数すべてが(重複も含めて)含まれていなければならない。
たとえば、105の倍数であるためには3も5も7も素因数に含まれている必要がある。
素因数が重複している場合は、たとえば
20の倍数であるためには、Yの中に2が2つ分と5が1つ、素因数に含まれていなければならない。




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では、倍数云々ではなく、割り切れるかどうかを判断するにはどうしたらいいのか？

先ほどの105で割り切れるかどうかを例に見てみよう。
たとえば21は3と7しか素因数に含んでおらず、5は含まれていないにもかかわらず、割り切れる。が、105の倍数ではない。

これは、たとえば21/105などを考えてみるとわかる。

21/105=1/5だ。
63/15=3/5も、倍数ではないが割り切れる。

次に、割る数を2×3×7＝42として、5を抜いて2を含ませてやろう

21/42=1/2となって、倍数ではないが割り切れる。
63/42=3/2も、倍数ではないが割り切れる。

つまり、約分して分母に2のべき乗か5のべき乗のどちらか(排他的ではないOR)だけが含まれている場合は、分子は関係なく

倍数ではないが割り切れる

現象が発生しうる。

※ただし、10進数に限る。



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n進数で一般化したい場合は、10の素因数が2と5であるように
nの素因数を洗い出せばよい。

たとえば60進数は2が2つ分と3と5だから、
約分して分母に2のべき乗か3か5のべき乗のどれか(排他的ではない)だけが含まれている場合は、
分子は関係なく

倍数ではないが割り切れる。

21分なんかはきっちり21/60=7/20=0.35時間だし！




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では15時間というのは何日なんだろうか
1日は24時間なので、24進数になる
24＝2×2×2×3で、5は含んでいない。
にもかかわらず5/8=0.625日と割り切れてしまうのは、
0.625と表現している側が10進数で、
10進数のほうに5を含んでしまっているからだ。


税率が変わったらみんなも税込価格が割り切れるかどうかで遊んでみよう！

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