QAD：マクローリン展開をマクロでやってみない試み～パート4～

マクロでやらないマクローリン展開シリーズもこれで最終回･･･！_{にするつもりですいちおう。}


マクローリン展開で出せるのは三角関数だけではありません。
ルートなどの無理数も、マクローリン展開で計算されています。


前回まで何度か出てきた円周率πも、マクローリン展開(より一般的にはテイラー展開)で算出されています。


この円周率の計算方法で「マクロでやらないマクローリン展開シリーズ」を締めたいと思います。


sinやcos関数の中身の角度は、1周を360度とする定義よりも、1周を2πラジアンと定義したほうがより根拠があると以前書きました。


では、sinxが1になる、あるいはcosxがゼロになるxは何度でしょうか？
90度ですよね。
ラジアンの尺度を使うとπ/2です。


三角関数を習うときにたいてい出てくる角度は0、30、45、60、90度のどれかでした。
つまり2種類の三角定規の角どれかなわけです。
2種類の三角定規はそれぞれ、正方形と正三角形を半分にしたものでした。


だからこそ、無理数は√(3)や√(2)しか出てこなかったのです。


しかし、どこかテキトーに、sinx=0.642788になるxを答えよ

といわれるとどのように方程式を解いたらいいかわからなくなってしまいますよね。


そこで出てくるのが「逆関数」という概念です。

逆関数というのは、図のようにy=f(x)という関数をグラフにイメージしたとき
y軸とx軸、縦と横をひっくり返したような関数のことを言います。
ということは、y=xの直線に対して線対称なわけです。

sin関数の逆関数はAsinと書いて、アークサインと呼びます。
cosやtanもAcosやAtanと書いて、アークコサイン、アークタンジェントと呼びます。

さきほどのsinx=0.642788は、x=Asin0.642788として答えればいいわけです。


このうち、アークタンジェントAtanを使って、円周率πを計算してやるのが今回の目的です。



tan45°は高さ1/底辺1で1ですよね。
ということは逆関数で考えると
Atan1=45度となります。

しかし、Atanの値は45度ではなくラジアンでπ/4となります。
このことを利用して、Atan(1)からπ/4を算出してそれをさらに4倍すると、円周率πが計算できるのです。

アークタンジェントのマクローリン展開は意外にも、タンジェント自身のマクローリン展開よりも簡単で
ベルヌーイ数なんてものも出てきません。

Atanx=∑(-1)^n・x^(2n+1)/(2n+1)

これだけです。階乗すら出てきません。なんだか拍子抜けしますね。
こんなんでどれだけの関数を再現できるのかと不安になるかもしれませんが大丈夫です。

この表のx=1のところを見てください。
atanの値が0.79･･･(0.7854･･･)となっています。
これを4倍すると円周率3.14･･･が出せるのです。



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