どうしてパウリ行列系SU(2)の固有値は対称なのか

3次の特殊ユニタリ群SU(3)の生成子であるゲルマン行列系は、このように、
8つの自由度を規格化していても非対称になりえます。


ではどうして、2次の特殊ユニタリ群SU(2)は対称なのでしょうか。
SU(2)の生成子はパウリ行列で以下のように表されます。



規格化した状態から考えてみますと

こうなので、固有値はλ=±1と、対称なのが自明になってしまいますが



規格化してないときの特性方程式を見てみますと

このようになっていて、特にノルムがどうとか言っていないので

上の図のような、上下に平行移動する特性方程式となります。(規格化すると上下移動は固定されます)
また、このときの固有値の幾何学的意味としては、半径1の円のコサイン成分と捉えることができるため
これが対称性を維持していると考えることが可能なのです。
円周を2分割しているだけだから、対称なのだといえるでしょう。