4次の特殊ユニタリ生成子の固有値にはどんな特徴があるか

2016/12/25の続きです。


最初に言っておきます。この日記では文脈がかーなーり大事です！
同じ記号なのに4次方程式のことについて言っていたり、3次方程式のことだったり紛らわしいので注意して読んでください。



この4次方程式を解きたいわけですが
まずフェラーリの公式にぶち込みますと
媒介変数uに関する3次方程式にたらいまわしにされます。


ただし、a2=p=-1、a1=q、a0=rです。

そこで、カルダノの公式を使おうとすると
u2乗の係数2pが邪魔だと言われますので、指示通りに消します。

そうして得られた3次方程式

を解いて

元の2次の項を含む3次方程式の解に直してやるために

の変換をしてuを得ますが、ここでいうpは「4次方程式のp」です。つまりp=-1というわけですね
uは3つ出てくるはずですが、どれを選んでもいいです。

こうして得たuを用いて
今度は以下の2次方程式にたらいまわしにされます。
 
ここでいうpとqは4次方程式のpとqです。
また、±がついているので、2本の2次方程式であり、解は4つ(つまり4次方程式)あることに注意しましょう。

整理すると
 
こうなり、目論見に乗っかって2次方程式にたらいまわしにされますと


こうなります。
ただし、3つある±のうち、赤で書いた±だけが複合同純ではなく、独立しています。

整理してみましょう。


ここで、固有値がすべて実数であることを思い出してください。
そうすると、uと判別式のどちらもが、正の実数でなければならないことがわかるかと思います。
u≧0だし

というわけです。また、p=-1であることも踏まえると
qが

この範囲にあることがわかります。


また、2次の項を含まない3次方程式の解は、3つの解を足すとゼロになることがさっきわかったのですが
行列の固有値から作らなくても、つまり1次の項pがp=-1でなくても
トレース＝０のように、3つの解の和がゼロになることがわかりました。
これを踏まえて、2次の項を含む3次方程式の解に変換するには、4次方程式のpを使って、p/3を引いてやると、p=-1なのでつまり1/3を足してやるといいので
元の3次方程式の解uは、合計すると2になることがわかります。

つまり、3つとも正の数でありながら、3つ合計しても2にしかならない
0≦u≦2であることがわかるのです。


ここで、

をuで1階微分してやると

こう。

2階微分は以下のようになるため


u>2/3だと下に凸、u<2/3だと上に凸になり
ん？

まあなんかとにかく、uが0から2までの間は
u=2/3で極大値 をとるので

qの範囲は
であることがわかります。



とりあえず今日のところはここまでにします。