クルックス管のように熱浴な、クォータニオンが入ったタンジェント

ようやく余裕ができて、Excelの複素行列を使って数値的に検算することができました。







ただしくはこうです。



検算用、複素行列解析エクセルはこちら。
DLしていただいてから、編集を有効にしてくれればdelを押すたびに動くはずです
複素関数なので、配列関数を使うのはやめて、掛け算などに複合参照を用いています。
基本的には青いセルだけいじってください。
初期値として-1～1の一様疑似乱数を入れてありますので、空白セルでdelボタン連打でも割と楽しめるかと思います
例外処理がしやすいように(逆行列がエルミート共役になるように)、固有ベクトルを規格化(ユニタリ化)しました。


 
クォータニオン(パウリ行列、SU(2)：特殊ユニタリ群)
xI+Jy+Kz→-i(xσx+yσy+zσz)=-iAはエルミート行列Aに-iをかけた歪エルミート行列なので

exp(-iA)はユニタリ行列になるはずです。

エルミート行列は実数の行列バージョン
歪エルミート行列は純虚数の行列バージョンとみなせますからね、
exp(実数)が指数関数的に増減する指数関数であるのに対して
exp(純虚数)がぐるぐる回る指数関数であるのとアナロジーがあります。

ちなみにexpのエルミート行列乗はエルミート行列になります


exp(-iA)がすでに求まっているので、

あとはcos(-A)=cos(A)を計算すれば、
オイラーの公式からsin(-A)=-sin(A)は自動的に求まります。

これが、cosAというのが面白い性質がありまして

cosA=cosr×単位行列

なんですよ！
ただし、回転角(固有値)r^2=x^2+y^2+z^2、回転の法線ベクトルx/r=X、y/r=Y、z/r=Zとする。


そうすると、オイラーの公式から得られた-sinAは、
exp(-iA)=cosA-isinAを変形すると
sinA=(exp(-iA)-cosA)/(-i)

と求まり、
両辺をcosAで割ると
tanA=(exp(-iA)-cosA)/(-icosA)=i(exp(-iA)/coaA-1)

となるわけで、このsinやtanは実はエルミート行列なんですよ！


つまりオイラーの公式のクォータニオンバージョンは
exp(歪エルミート)=ユニタリ=スカラー×単位行列+歪エルミート

という、割と不思議な関係になっているわけです。
スカラーのオイラーより不思議さのレベルがあがってる自信がちょっとだけあります


何の役に立つのかわからないまま始まり、わからないまま終わった
この、exp以外にもいろんな関数に複素？行列をぶっ込んでみようというこの企画

tanから始めてよかった！

特に何に使えるわけでもないけど、理解だけは深まった！
まるで羽根車の入ったクルックス管のように
密閉されていても光や熱は出入りできる窓であり
教材としてはかなりいいものだ！ｱﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ (⌒ワ⌒)

sinやtanは関数の中身がパウリ行列だと、その複素共役(あるいは転置)がそのまま外に出るんですね～
cosは外に出すと単位行列に。
偶関数や奇関数全体に言えることなのかどうか、またパウリ行列以外のエルミート行列だとどうなるかはわかりません

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