ゲルマン行列の固有値を考えてみる

前にもやったことがあるけど、今回、ちょっと新しい収穫があったので再度載せる。


このような8つのゲルマン行列σの線形結合H=Σ(σj×θj)
の固有値λを求めるには

det(H-λE)=0が条件であるが



a=θ1+iθ2、b=θ4-iθ5、c=θ6+iθ7、x=θ3、z=θ8/√(3)とおくことで、
 
少し見通しがよくなった。

|a|^2=A、|b|^2=B、|c|^2=Cとおくことで
 
このように簡略表現できる。

また、以下のように置くことで、cosを使ってさらに簡略表記できる。



これを展開するのは骨が折れるが
結果だけ示すと、以下のような、2次の項の抜けた3次方程式にすることができる。



これをカルダノの公式に入れれば、解として固有値が得られるが
元来エルミート行列の固有値はすべて実数であるため

リンク先wikiにあるuとvは複素共役であることが確認できる。

y^3+py+q=0の3次方程式の場合

pとqはこのようになるが、

pの中身の変数はすべて大文字であるため、p<0である。

この状態で、uとvが複素共役の関係であるためにはu^3とv^3を表す


の、根号の中身 が負で、√が純虚数である必要があるだろう。


まあ、ここでようやく、「エルミート行列の固有値が実数」という検算ができただけなのだが

3行3列以上のエルミート行列では
固有値λがλ=(0)、±Aといったように正負が対称になるとは限らないらしい。


どうも、この辺にCP対称性の自発的破れが関係しているように思えるのだが
詳しいことはまだ学習中である。

上記のwikiによると、3行3列のエルミート行列では複素位相が1つだけ出てくるらしい


それはもしかして、上の図のように、n行n列のエルミートの行列指数関数n個を掛け算する際に、SO(n)とユニタリSU(n)が混じってて、3行3列の場合は、3つのうち1つだけがユニタリ行列SUになって、残りが実数の回転行列SOになるということなのだろうか。


だとしたら、一般的なn行n列の場合
生成子を線形結合した行列の指数関数が、n個のSUとSOの掛け算になって
そのうち(n-1)(n-2)/2個だけが、ユニタリSUになって、残りがSOになり
掛け算の順序は特に気にしなくていいということだろうか。

たとえば4行4列だったら4個のSUとSOのうち、3個がSUということになるだろう。
5行5列だったら5個のSUとSOのうち、6個がSU・・・？？5個を軽々と上回ってしまった
いくつ掛け算すればいいのだろうか


あ～、4行4列だったら4個ではなく4C2=6個(うち3個がSU、残り3個がSOかな)
5行5列だったら5C2=10個掛け算すればいいのか。(うち6個がSU、4個がSOかな)



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