ゲルマン行列の固有値の解析解

8種類のゲルマン行列の線形結合

の固有値は



以下の3次方程式を解くことで得られます。(5/15日記参照)

係数をすべて実数にすることができました。
また、エルミート行列の固有値なので、すべて実数である保証があります。

カルダノの公式を参考にすると


(※注意：後述しますがpの符号を逆にしてます)


  の解は
u,vをそれぞれ
 
とすると、(複号同順)

λ=u+v、wu+w*v、w*u+wv
となります。wというのは1の複素3乗根の1つで、w=(-1+i√(3))/2です。
また、wの2乗はwの共役複素数w*でもあります。

この求めたλがすべて実数であるためには、
uとvが複素共役の関係、つまりu*=vである必要があり、

また、そのために が純虚数である必要があるため、
が成り立つ必要があります。そのため、今後はuとvを

  と表記することにします。

まず、u+vを求めてみましょう。

そのためにはuとvの3乗からuとvそのものを求めなければいけません。
このようなべき乗・べき乗根を求める際に、極座標表示が役に立ちます。


数値で計算する際の注意として、アークタンジェントは横のデータと縦のデータといった、変数が1つではなく2つの、atan2のほうを使ったほうがバグが少なくて済みます。
ただのatanは例外処理をするポイントがたくさんあるのです。
横=0の場合や、横が負の場合、横も縦もゼロの場合など

このuとvのそれぞれ3乗の3乗根を取ってuとvそのものにしたいので

大きさは単純に3乗根を取り、
expの中身は3等分します。

ここでも注意が必要で、複素n乗根は一般に多価となり、n個出てくるはずなのです。
そのため、nを0～2の整数として


このように扱ってやる必要があり
このuとvの組み合わせの中から、uv-p=0(符号に注意)となるものを選ばないと、正しい解は得られません。

よって、まず固有値の1つであるu+vは、n=0だとuv-p=0になるので
 

となります。

さて残りの2つを求めましょう。

wu+w*vを求めようと思いますが、実はwuというのはn=1のuのことで
w*vというのも、n=2のvのことなので

こうなります。
 

同様に、w*u+wvも、w*uはn=2のu、wvはn=1のvなので

となって、まとめると

固有値λはnを0～2の整数として

このように表すことができます。


3次方程式のpの符号を変えたのは、ルートの中身がオールマイナスだと気持ちが悪いからというのもあるのですが

pというのは実は5/15日記
を見るとわかるとおり
p=3Z+X+A+B+Cとなっていて、これが何を意味するのかといいますと
θ1からθ8までの2乗和、つまり8次元空間のノルム(長さ・絶対値)のことなのです。
また、必ずプラスの値です。

その上、エルミート行列の固有値の性質から


なので、3分のpの3乗は0よりも大きく、なおかつ、2分のqの2乗よりも大きくなければいけません。
係数は実数の範囲内なので、2分のqの2乗も必ずプラスです。

つまり、(p/3)^3>0よりも(p/3)^3>(q/2)^2のほうが常にキツい条件となります。


この固有値が0、±Aといった形の対称な値を取るには、
q=0である必要があります。
q=0であるためには、対角成分X=Z=0で、なおかつ非対角成分が純虚数である必要があるようです。

これの意味するところは、θ1=θ4=θ6=θ8=0なので、

このエルミート行列H,というより交代行列iH

を指数関数に入れた際、
3次元の任意軸回転である「ロドリゲスの公式」になるよということです。
もはや特殊ユニタリ群SU(3)ではなく特殊回転群SO(3)になっているのです。

なるほど、これだと確かに、特殊ユニタリSU(2)(パウリ行列系)と等価なので、固有値は±Aという形になって非対称になりませんね。




にほんブログ村