ユニタリ群生成子～内堀から埋めていくスタイル～

ユニタリ群とは、ユニタリ行列の群である。
ユニタリ行列とは、自身のエルミート共役が逆行列になるものである。
また、群とは、単位元と逆元を持ち、二項演算について結合法則が成り立つものである。
つまり、ユニタリ行列は掛け算に関して群である。

たとえば2行2列の回転行列はユニタリ行列である。
ベクトルにこのユニタリ行列を掛け算するとき、ベクトルは向きを変えるが大きさは変えない。

このように、向きだけを変えて、大きさ(複素数なら絶対値)を変えないような変換を施す行列をユニタリ行列と呼ぶ。
2行2列以外にも、n行n列に拡張できる。

n×nの任意のユニタリ行列を生成するための、生成子という行列が存在する。
生成子を(虚数乗した)行列指数関数の中に入れると、ユニタリ行列が出来上がる。


生成子は、次のようなルールで作り出すことができる。

・生成子はエルミート行列である
・まずパウリ行列から作成する。

パウリ行列は3種類あり、トレースがゼロで、行列式が-1の、2行2列の複素行列である。
パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリ行列でもある。

パウリ行列の番号を
ここでは
・非対角成分が有限の実数であるものを1つ目
・非対角成分が有限の純虚数であるものを2つ目
・対角成分だけが有限の実数であるものを3つ目

と定義する。


3×3行列に拡張する際は
1～3番目をパウリ行列とし

・4番目：使われていなかった行と列の右上と左下を有限の実数にする
・5番目：4番目と同じ配置に、有限の純虚数を入れる
・6番目：右上から1つ下と、左下から1つ右に有限の実数
・7番目：6番目と同じ配置に、有限の純虚数を入れる
・8番目：ひと周り小さい行列を単位行列とし、右下を、トレースがゼロになるように入れ、規格化する(掛け算したベクトルの大きさが変わらないようにする)


4×4行列に拡張する際も、3×3行列への拡張同様に行う


このような手順を定義することにより、ユニタリ群生成子の順番は一意に決まる。



フハハ！まるでパウリ行列がパウリの排他律にしたがって埋まっていくようだァーーー！
こいつらはきっとフェルミオンだな。





ちなみに、3×3のゲルマン行列をi倍して指数関数に入れたときの生成されたユニタリ行列のうち、中身が実数のものだけを抽出すると、3次元の回転行列となる。

同様に、2×2のパウリ行列をi倍して指数関数に入れたユニタリ行列のうち、中身が実数しかない行列は2次元の回転行列となるが、このときの回転の自由度は1つしかない。

回転の自由度が4つ以上になると、任意軸回転においても軸が2つ以上になるらしい。
これについてはまだ僕が勉強する余地はたっぷりとある。


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