4行4列のユニタリ生成子を、数値計算的にてさぐるXlsXファイル方法論

ユニタリ生成子は次のようになります。



見通しがよくなるように、次のように書き換えておきましょう。
 

これを、セルに実装してみます。

最終目的としては、このエルミート行列に-iをかけた歪エルミート行列を行列指数関数に放り込んで、高次元のユニタリ行列(回転行列のようなもの)にするのが目標なので
θ1からθ15までの値は、すべて-π～πの中に納まるはずです。

そこで、とりあえずの処置として、疑似乱数rand()関数を使います。
rand関数は0～1の一様乱数なので、1/2を引いてからπをかけるとよいでしょう。


次に、複素数a～fと、実数w～zを定めます。
a*などのアスタリスクのついた複素数は、複素共役を意味します。
たとえば、b*はbの複素共役ですので

a=complex(θ1,θ2)などというように、a～fを定め
それぞれの複素共役は、imconjugate(a)といった風に実装します。

また、x=θ8/√3、y=θ15/sqrt(6)です。

aとb、bとcなどはセル1個分ずれているのに対し、θ1、2ペアとθ4、5ペアがセル2～3個分ずれているので、2～3個下にいったんコピペーしてから、上に戻すようにカッペーしてやると効率がいいです。
セルの乳首をつまむと、参照した部分が赤面するので、ぶっこんだごとに、どこの穴を参照したのか、色を当てにして確認するとよいでしょう






できあがった行列がこれです
 

エクセルのエンジニアリング関数に入っている、複素数のためのライブラリ関数は
なぜか1つのセルに複素数を文字列として詰め込む仕様なので
あまりうまく整って出力されません。
今回は、見やすいように小数点以下1桁までで表示してます。

せめて、行列のように配列関数であるとありがたいのですが・・・


また、行列のためのライブラリ関数とも相性が悪いので、複素行列が扱えない仕様となっております。


そのため、行列の基本演算を、手動で行っていくことにします。


固有値を出す前に、腕慣らしとして、この4次行列の行列式を求めてみましょう。
4行4列の場合は、サラスの公式が使えないので、3次になるまで余因子展開を行いましょう。

ここでは、1行目に着目して、
1列目の余因子、2列目の余因子、3列目の余因子、4列目の余因子を算出し
そこからサラスの方法を用いて行列式を出してから
合計して４次本来の行列式を求める方法をとります。


まず
１行目の１列目から４列目の数値を右側に参照して出しておきます。
 

それから、余因子展開ができるように、「列の追加」で、
それぞれの列を参照したスペース同士の間に隙間を作っておきます。
２列ずつ追加になりますね。
 

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各列の代表の下に、余因子を並べていくと、次のようになります
 

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3次の行列式になったので、もうサラスの方法が使えます。
複素数の掛け算improductを使って、掛け算しましょう。
プラスの掛け算と、マイナスの掛け算がそれぞれ3項ずつあるはずです。

 

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3要素の掛け算が3セット出そろったら、プラスからマイナスを引きます。
imsub関数を使います。この関数は二項演算用です。

プラスからマイナスを引いた3つの複素数が算出されたら、その3つを足しましょう。
imsum関数を使います。この関数はimproduct関数同様、二項ではなく多項演算用の関数です。

それから、各列の代表値を再度表示するのですが、1行目1列目から数えて奇数回隣に移ったものの符号はマイナスなので、そこに注意。

 
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たとえば、2列目と4列目の代表、赤の印をつけたところは符号を反転させています。
imsub(0,なんとか)
といった使い方をしてます

そして最後に、符号も考慮した各列の代表×３次の行列式を４列すべて足せば
４行４列の複素行列の行列式が出せます。


エルミート行列の固有値はすべて実数なので
行列式もちゃんと実数になっている(ちょっと誤差あるけど)ことがわかるかと思います。



これは、あくまで行列式を求める計算を、腕慣らしに行っただけなのですが
次はいよいよ、
固有値を求めてみましょう。


固有値をいろいろ変えて、てさぐってみるイメージなのですが
お気づきの方もいるかと思いますが
固有値をてさぐらせるために行の部分を使ってしまうため
残りの演算をすべて１行にまとめてしまわなくてはいけません。

これをコピペーで行うには煩雑で、参照ミスもたくさん出てしまいがちなので
こういうときに役に立つのがカッペーです。

カッペーは、コピペーとは違って、セルの内容ではなくポインタを移動させる方法をとるため
絶対参照にしなくとも、セル参照のズレが起きません。

その代わり、リファレンスエラーが起きやすいデメリットもあります。
操作を間違えた場合は、手動で治すよりも、「元に戻す」を行ったほうが間違いが少なくてすみます。


つづく。