正多角形の面積とsinc関数

昨日の日記では、半径1の円に内接する正2n角形の面積はn*sin(π/n)といいましたね。
あれは嘘だ！

このnが無限大の極限で、正多角形は円になるので
面積はπに漸近していくはずです。


ところで、n=1/xと置き換えることで

sin(πx)/xという、sinc関数のようなものになります。

いや、これは紛れもなくsinc関数なんです。
πx=Xに置き換えれば
sin(πx)/(πx)=sin(X)/Xだから、ただの変数xのスケール変換だったんですよ

だったら、sin(πx)/x=πsin(X)/X=πsinc(X)になって、X=0の極限でπになるのは、当たり前だったんですよ

それなのに、wiki見るまで全然気づかなくて
積を和に変換する定理を使おうにもπとかいう超越数倍ってどうすんねんとか
ロピタルの定理に頼ってしまうとかこの体たらく＞＜

やー昨日は本当にガッカリしましたわぁ


気が向いたら、nが奇数の正n角形の面積にも手を出したいなぁ
同じ理屈を偶数から整数に拡張できるかもしれないし

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