なっつん「問題出すほうは得意だから～」～複素行列の対角化～

A=
なっつん「次のエルミート行列を対角化しなさい」

れんちょん「まかせるのーん！
を満たすaとbとλがあればいいのん！

まずは永年方程式にするから、

これのデターミナント イコール ゼロが必要条件で

おおー！固有値が整数とな！なっつん！この問題誰が考えたのん！？」


なっつん「カズ姉だよ。答え合わせがめんどくさいから整数になるように調整したんだってさ。」


一穂「ピタゴラス数知っててよかった～」

れんちょん「おほー！」

こまちゃん「カズ姉が知ってたのは2セットまでだけどね～」


一穂「ほかのだって出せるよ～？3,4,5と5,12,13から、13,・・・と、この場合は奇数、偶数、奇数のはずだから、14から偶数をたどって・・・」

ほたるん「13,84,85のワンセットです！」

一穂「えっ！？いきなりそんな細長三角形になっちゃうの！？」



れんちょん「そんなことより問題の続きやるん
λ=15だったら

の上半分だけ解けばいいのんなー
b/a=16/(4+i12)=4/(1+i3)だから、 を規格化して、規格化定数は√26分の1なん！
 


λ=-11だったら～ の連立方程式の上半分～

b/a=-5/(2+i6)だから、規格化前だとこうなのーん！
規格化定数は√65分の1だから、 こうなるんな！

横に並べて合体！ゆにけっつさん ！

ゆにぶらさんはゆにけっつさんのエルミート共役だからこうなのん！ 」


こまちゃん「じゃあブラ・ケットで単位行列になるかどうかチェックしてね～」


ほたるん「れんちゃん、ポケットミクセル使う？」


れんちょん「おお！これは古代のオーパーツ！関数電卓！さすが古代の女は違うなんなー

エンジニアリング関数で複素行列をボトムアップして～願いましてーは

ゆにけっつさん11=complex(1/sqrt(26),3/sqrt(26))
ゆにけっつさん12=complex(2/sqrt(65),6/sqrt(65))
ゆにけっつさん21=complex(4/sqrt(26),0)
ゆにけっつさん22=complex(-5/sqrt(65),0)


ゆにぶらさん11=imconjugate(ゆにけっつさん11)
ゆにぶらさん12=imconjugate(ゆにけっつさん21)
ゆにぶらさん21=imconjugate(ゆにけっつさん12)
ゆにぶらさん22=imconjugate(ゆにけっつさん22)

そして合体！

合体11=imsum(
improduct(ゆにぶら$11,ゆにけっつ1$1),improduct(ゆにぶら$12,ゆにけっつ2$1))
合体12、合体21、合体22にコピペー！

単位行列になったのん！<|>=I((1,0),(0,1))なのん！」



こまちゃん「複合参照だねぇ。いちおう、ユニタリ確認もしといて～」


れんちょん「願いまして～は
imabs(imsub(improduct(ゆに11,ゆに22),improduct(ゆに21,ゆに12)))
ぶらさんもけっつさんもデターミナントが1になったん！」


なっつん「もしうまくいかなかったら、規格化前のブラケットで逆行列の計算をしてみて、バグがどこにあるか目星をつけよう。」


ほたるん「規格化定数があってるかどうか確かめるために

けっつ11^2+imabs(けっつ21)^2

とかを計算してもいいよね！」


一穂「さあて、最後はお待ちかねの、対角化検算タイムはーじまーるよー！
元の行列Aにブラとケットをサンドイッチして、<|A|>が対角成分のみになって、その対角成分が固有値になってるのを確かめよう！」


れんちょん「まったく、笑わせてくれる・・・」


一穂「れんちょんは答えが導出できることがわかれば満足しちゃうタイプなのかな～？」


れんちょん「何言ってるん？そんなん当たり前なん。グッズは買うまでがお楽しみであって、買った後はどうでもいいに決まってるん。だから何度も同じものを買うん。過程よりも結果を重んじる人間がどこにいるというのですか。我々2次元の人間ではなく、3次元のクリーチャーさんたちならともかく」








大塚れんげ様だったな！ﾌｩｰﾊﾊﾊ！

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