パウリ行列に回転行列を作用させる際の注意

 

この行列の、y軸回転 の場合、ny=1、nx=nz=0なので、ただの2次元の回転行列



に見えてしまうが、あくまでもクォータニオンに作用させることを忘れてはいけない。
の、y=0なら確かに
これだって これだって
ぶっちゃけ
この2つだって成立する。しかし、これはただの2次元行列だからなせることだ。
しかし、同じy軸回転でも、一旦y≠0になって、複素行列になってしまえば、ただ左右どちらかに掛け算するだけでは、まともな回転は成立しない。

きちんと、座標を表す表列の左右に、角度を半分にした、回転のための行列と、そのエルミートを掛け算しなけば計算はうまくいかない。
 


同様に、z=0、nz=1、nx=ny=0 とした場合
もはや行列関係なく、ただの複素数の積になってしまうだろうが

ひとたびz≠0になってしまうと、たちまち行列にせざるを得なくなり、
 
エルミート共役同士でサンドイッチしなくては、正しい計算結果が得られない。


略そうとするとろくなことがないのだ。


2行2列だが自由度が3つあり、これを素直に3次元ベクトルで行うには

y軸回転はこの2つに相当し


z軸回転は、以下の2種類に相当する。

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