パウリ型回転行列の使い方

前回の日記。

パウリ行列の指数関数を用いて、ロドリゲスめいた3次元回転行列みたいなのが得られた。
だからどうした！？


あらすじおわり。

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ここまで計算し終えてようやく気づいたんだけど、実はこれと同じ結論を去年の夏くらいに得ているようだ。すっかり忘れていた。


ただ、そのときの僕は、この行列を使いあましていた。
この行列をどう使えばいい！？掛け算でもするのか！？
ただただ掛け算すればいいことに、最近気が付いた。
丸一年ごしの馬鹿の壁である。


本来、パウリ行列の2番目、σyを指数関数にぶち込んだ際に得られた
従来の回転行列を思い出そう。

これは(縦)ベクトルに直接掛け算して使っていたではないか。
それなら、パウリ行列を基にした複素行列状のベクトルでも同じように、掛け算することで回転が得られるのではないか。

確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。

つまり、行列をエルミートに制約すれば、ベクトルと同じように扱えるのではなかろうか。
 
  
まさにかければいいだけの話だったのである・・・。


しかし、行列を作用させる対象のベクトルが、2行2列の行列の形をしているのは、エクセルで扱ううえではなにかと都合が悪い。

しかし確か前回、「ベクトルの風味が出るように、行列はエルミートに自由度を制約している」と自分で言っていたではないか。

そうだそれだ！
行列の右半分だけ使えばいいのだ！

つまりこうなる。
  
 
表計算の縦に伸びる機能を利用して、横ベクトル対応型にするとこうなる。
行列の下半分だけ使えばいいのだ。
ただし、回転行列は左からではなく右からかけることに注意する。
 



なんとまあ1つの3次元を表すのにセルを2つしか使わなくて済むとは！
(ただし複素数であるが)
 
そのうえ、ベクトルの足し算、つまり平行移動の際にダミーの1次元を足さずに済む
(まあ、それが必ずしもいいこととは限らないが)



スカラー倍が困ったな・・・個別に操作するしかないのか？


でもそういえば、行列の性質上仕方ないとはいえ、縦ベクトルか横ベクトルかで、回転行列を右から掛け算するのか左から掛け算するのかが変わってくるの？

元の行列状のベクトル相手だったら、元来左右どっちから掛け算するもんなんだろう？？

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と思ったのもつかの間、実装してみるとうまく回転しないのである。y軸回転以外。
これじゃあただのベクトルの回転行列じゃないか！！！





何かの情報が足りない・・・。
そう思って、昨日の愚痴ブログで情報を整理していた。

パウリ行列とクォータニオンの関係は得られている
ロドリゲスと行列の指数関数の関係も得ている。

じゃあ欠けているのは、

パウリ・クォータニオン
と
ロドリゲス・行列指数関数

の関係性だ。


そこで、クォータニオンによる任意軸回転の式をもう一度眺めてみた。

Q=xI+yJ+zKと定義し
3つの虚数単位I、J、Kの間には
I^2=J^2=K^2=-1
IJ=-JI=K、JK=-KJ=I、KI=-IK=J
の関係があることを前提に

長さが1でnx、ny、nzの成分を持つ回転軸周りをΘだけ回転させるためには

C=cos(Θ/2)+(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2)
をQの左から

Cの複素共役C*=cos(Θ/2)-(nxI+nyJ+nzK)sin(Θ/2)
をQの右から掛け算してやればいい。



昨日の寝る前にようやく気が付いた。
これ

これじゃねーかあああああ！！！！
(あ、Θを半分にし忘れてる)


ずっと目の前にいらっしゃったのに全然気づかなくてﾜﾛｽｗｗｗｗ

まあそういうわけで、前回のブログの最初に掲載した
 コレにようやくたどり着いたんです。
今度のはめでたく実装もうまくいきました＾＾



「両側からサンドイッチ」の理由をそんなんで納得していいのかって感じがしなくもない

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