パウリ行列指数の交換法則とロドリゲスのラジオ体操

意外と早く復活できました＾＾ｂ

行列指数関数の交換(分配？)法則が一般に成立しないっていうのをパウリ行列を例に説明しようとすると、たぶんこうなる。

  
これが一般に成立するとは限らない。

パウリ行列を3つの虚数単位に相当させると、クォータニオンの代わりになるんだけど
 
座標の代わりに回転角を用いてやった行列指数関数ってのは、どうも回転行列になるらしい。
ただし、パウリ行列を用いることで、無理やり（？）3次元の自由度を実現している感じになる。
    
 
x2=yの値だけが純虚数に相当するようで、x1=xとx3=zは普通のベクトルに似ている。
(ただし、回転行列を作用させるのはベクトルではなく行列であり、行列のベクトル的な振る舞いの整合性を保つために、エルミート行列または歪エルミート行列でなければならないという自由度の制約がある)


それぞれのパウリ行列を指数関数に入れると、
上のような3種類の回転行列となるが

Πで結びつけた場合とΣで結びつけた場合とで、回転の様子が違ってくるということらしい。

Πで結びつけた場合は、まずx3=z軸での回転を行い、次にx2=y軸での回転、そして最後にx1=x軸での回転3つを行うイメージである。
ただし、時系列の順番ではなく、あくまで回転行列を作用させる順番であることに注意。
 
 
ラジオ体操第一でいうところの、最初の手の動きと最後の手の動きの違いといったところだろうか。
(わかりやすく3次元の回転行列を用いた式でいうと、

のθ1を動かしてからθ2を動かすか、θ1とθ2を同時に動かすかの違いである)
 
 
ところが、Σで結びつけた場合は、3軸の回転角に重みをつけて、任意軸周りの唯1つの回転といった、いわばロドリゲスの回転公式みたいな感じになっているようだ。
 
添え字つきの小文字のθx,y,zはそれぞれの軸の角運動量ベクトル、Θは3軸θベクトルの絶対値
nx,y,zはnベクトルの長さを1とする回転の法線ベクトルである。
 
(こういうとき、非規格化(つまりユニタリになってない)ブラ・ケットが計算の煩雑化を防いで重宝するんだよなぁ)


一般にΠとΣがイコールとは限らないと言ったが、もちろん一致する場合も存在する。
たとえばx軸、y軸、z軸単体での回転の場合、ΠとΣは一致する。
nx=1、ny=nz=0→Π=Σ
ny=1、nz=nx=0→Π=Σ
nz=1、nx=ny=0→Π=Σ





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