複素行列を扱う際の注意点

複素行列に関しての注意点はほとんどないと思います。
実数行列の実数の部分が複素数になるだけで、そんなに注意はいりません、たぶん。


ただ、多少の注意点を挙げるとするなら
対角化する際のブラとケットを規格化して、エルミート行列にするときの場合でしょうか。

たとえばパウリ行列の1つにこのような行列があります。

この行列をAとおいて、Aの固有値λを求めるとλ=±1となり

λ=1を代入して得られた、規格化されてない固有ベクトルは、大多数の人はこのように算出すると思います。


さて、これを規格化する場合はどのような演算を行えばよいでしょうか。

上の1と下のiをそのまま2乗して足して、ルートを取ったものを分母にすればいいのでしょうか
しかし、それでは分母がゼロになってしまいます。


そのような理由からではないのですが、この演算方法は間違いで
ただの2乗ではなく、複素数の絶対値の2乗を行わなくてはなりません。

上の1は実数なのでそのまま2乗していいのですが
下のiは絶対値の2乗なので、|i|^2=1となります。iの複素共役-iと掛け算してi×(-i)=1と考えてもいいです。

つまり、規格化係数は1/√(1^2+1^2)=1/√2となるわけです。


固有値λ=-1の場合の固有ベクトルの規格化も各自やってみてください。



そうして出来上がったユニタリ行列Pは、実数行列のときと変わらず、縦ベクトルを横に並べて
以下のようになっているはずで

これのエルミート共役(転置して複素共役)を取った

これが、ちゃんとPの逆行列として機能していることを確認しておいてください。
場合によっては、符号やらなんやらを逆転しないとちゃんと逆行列として機能しなかったり
そもそも行列式の絶対値が1になるという、ユニタリ行列としての機能をみたさないまま中途半端に規格化されていることもありえますのでね。


また、ブラかケットの中の数が純虚数や実数ではない任意の複素数の場合もあり得ると思いますので
絶対値は正しく取りましょう。
実部と虚部の2乗和のルートです。





あ、そうだ。
目的の行列自体は実数行列なのに、固有値が複素数のせいで、
固有ベクトルが複素行列になっちまったどーしてくれてんだ！って場合もあるかと思います