ロドリゲスの回転公式4次元版

ここに、SU(5)までの特殊ユニタリ生成子のgifがあるんですけど
このうちの、中身が純虚数でできているものは、σ2、σ5、σ7、σ10、σ12、σ14の6つだけなんです。

これをexp(iσn)としてテイラー展開すると、iσnが、中身実数の歪エルミート行列、
すなわち交代行列になるので
テイラー展開した行列指数関数も、中身が実数の行列になるはずです。

4次元の回転を求めたいので、4次行列までで制限しているのですが
どうして4次元なのに回転の変数が6つもあるのかといいますと
これは「回転」という概念が「2次元平面内で行われるもの」だからでして


たとえば3次元空間内での回転行列を思い出してみてください。
x,y,z軸それぞれを回転軸とした回転の場合、必ず、

このように何も変化させない軸がありましたよね？
こんな風にボンバーマンする軸が、3次元から4次元になった時、1本ではなく2本になるんです

cosとsinのペアしか入れられないので、当然、余ったところでボンバーせにゃならなくなるわけですよ

3次元だったら
cc1
c1c
1cc
の3パターンしかないですけど、これはたまたま3C2が3そのものだっただけで

4次元ともなると4とは限らず、4C2=6になるわけです。
cが2つ、1が2つ入った玉袋から、cのタマタマを2つ取る組み合わせなので、4C2です。ツーボールです。受け止めワンチュー。


まあだから、回転行列に分離してやれば、こんな風にボンバーされるんですよ。


しかしながら以下のラジ館<ノスタルジアドライブ>体操を見るとわかるように
 

 
ラジ館体操の始まりと終わりのプロローグと、終わりと始まりのプロローグは
違うんです。


これを行列指数関数の言葉で表すと
行列AとBについて、一般に
exp(A+B)=exp(A)exp(B)
とは限らない、つまり掛け算どころか足し算も逆転不可なんです！(ゆがみ姉)

だから
順番は多少異なるかもしれませんが
4次元においても、この等号は一般に成立しないんです。


3次元では下のような式をオイラー角、上のような式をロドリゲスの回転公式と呼んでいるようですが
おそらく4次元におけるロドリゲスの回転公式も存在するだろうと、現時点では考えています。

3次元ですらオイラー角による表記に一意性がなかったのだから
4次元以上においても、おそらく回転という概念は基本的に2次元平面内で行われるものだと考えられます。

なので、3軸や4軸がワンセットになった複雑な回転は考慮しなくてもいいと思うんです。たぶん


また、ｎ次元でnC2ということは、
ｎ角形の2頂点を線分で結ぶ組み合わせの数と同様に考えることができるでしょう。

そしてそのnC2という式はnC2=n(n-1)/2で表され
同時に1からn-1までの総和の式

と一致します。


そしてですね、面白いことにSO(n)だけでなく、SU(n)にもこの式はかかわっていて

たとえばSU(2)パウリ行列生成子の末っ子は√1で割り

SU(3)ゲルマン行列では√3で割り

SU(4)の生成子の末っ子σ15は√6で割り

SU(n)生成子の末っ子σn^2-1は√nC2で割るんです。

これは、対角要素の2乗和を2に保つためみたいです。ノルムとかいうやつですね



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話は4次元の実数回転行列SO(4)に戻り
指数関数の肩に入る4次交代行列の6つの変数、右上がプラス、左下がマイナスでもいいっちゃいいのですが
ロドリゲスの回転公式の場合、おそらく右手系の維持のためだと思うんですが
右上の符号は3つ中1つが反転してるんです。


ということは、4次元版のロドリゲスの回転公式でも、右手系みたいなのを定義するべきなのか？とも思ったんですが
三角形の場合は中に三角形が1つしか作れないのに対して
四角形の中には三角形が3通り作れちゃうのです。
そうしたら、どこをどのように右手系、というような定義ができなくなるのではないかと
ちょっと危惧しているのです。


あと心配なのは、3次元では回転トルクの単位ベクトルを決めることで規格化が完全に行われていました。
θx^2+θy^2+θz^2=1


ところが、四次元では変数が6つにもなる上
θ2θ3のような項も出てきそうなので
単位ベクトルのほかに何かしら別の縛りがないと、うまくまとまらないのではないかと思うんです。


どこかのサイトで噂程度に耳にした話ですが
4次元の回転では、任意軸が2本になるそうです。
これは、「四角形は2つの三角形に分けられるよ」と同値と捉えて問題ないのでしょうか
そこらへんも心配ですねえ
5次元だったら五角形の内角の和みたいに、任意軸が何本になるよと、そういう解釈でいいのかどうか・・・