FT：超球の式の真贋(フーリエトランスフォーマー)

2009年1月7日の日記で、n次元空間における丸い物体(超球というらしい)の体積(n積？)や表面積(n-1積？)のようなものは
半径をr、m=n-1として

n次元
m積：2mπr^m
n積：m積のrによる不定積分の結果

とかなり簡単にあらわせるのではないか、と書いたことがあった。

モンテカルロ法をn次元空間に適用し、誤差を含みながら大雑把に見積もったものだった。
そのときは「これ以外にないだろう」と思っていたのだが、
モンテカルロ法による確率的な誤差が災いし、本当の式は違うものであることが分かった。

なんと、
n次元のm積は
 r^m(2(2π)^m/2 )/(m-1)!!　　ｎ：奇数
 r^m((2π)^n/2 )/(m-1)!!　　ｎ：偶数
!!は拡張された!(階乗)の一種で、m!がm・(m-1)・・・３・２・１であるのに対し
m!!はm・(m-2)・(m-4)･･･４・２またはm・(m-2)・(m-4)･･･５・３・１というものである。
っていうかこれΠ(総積)であらわしたほうよくね？

という、大変複雑な式で表されるようだ。
これは素直に重積分した結果なのでこっちが正解なのであるが

まさかr^mの係数にπの2乗以上がかかろうとは夢にも思わなかった。

しかも、この真贋の式を比べると、ある程度近似できてしまうから恐ろしい
こうして、間違った式を誤差含みで信用し、ブログに載せる結果となってしまったわけだ。


4/19追記
正誤グラフを添付する


















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