行間放送大学「量子と統計の物理」第7話

モナピーと一緒に挨拶する先生。今回は行列回デース。



|E>という状態にハミルトニアンを左から掛け算すると、エネルギーが得られるよ！
という話なのです。


もし状態|E>が2つの状態しか取れないのであれば のように表されるわけです。
ただ、固有状態ではない状態を観測しようとすると、観測行為そのものによって|E>が変わってしまう。
|E>が幸運なことに固有状態であれば、素直に測らせてくれる。

と、そういう話なのでした。


そんなわけで、固有状態を観測せずに式からあらかじめ求めてしまおう！

というのが今回の目的のようで


ケットベクトル|E>のエルミート共役であるブラベクトル<E|で、ハミルトニアンをサンドイッチしてやると

 

といった風に対角化されて、固有値(今回はエネルギー)Eと、
固有状態|E>が求まるよ～


じゃあ固有値をまず求めましようか。


ハミルトニアンは
(ε1とε2はエネルギー、γは遷移確率で、γ*はγの複素共役です)

だから、固有値方程式はこうなって


 
この連立方程式が永年方程式になるには

このようにH-EI(Iは単位行列)の行列式が0になるエネルギー固有値Eを求めればいいです。
 (複合同順)
エネルギー固有値は一般に2つあり、(ほーらエルミート行列の固有値だから実数になるでしょー！？)

E+とE－の両方に対して
 
を満たす固有状態v1とv2のペアを求める必要があります。

ところが、先ほど言ったように固有値を求める条件というのが、「永年方程式になる」というものだったので、
この2本の連立方程式は同じものとなり、v1とv2は比の形でしか求まりません。

つまり

と

は、E+を代入するとまったく同じ式となり、何回こねくり回そうが、v1/v2しか求まらないのです。

E-の式に関しても同様です。


ただし、固有ベクトルの場合、規格化というものがよくついて回ります。
今回も例外ではなく、v1とv2の2乗の和は1になる。
という条件を付け加えれば、v1とv2は求まります。

そして

といった風に並べると、ケットベクトル｜E>は完成します。


ケットベクトルが規格化されていれば、ブラベクトル＜E|は、|E>のエルミート共役
つまり転置して複素共役を取るだけで得られます。(ブラもケットもユニタリなので)

(規格化してない場合は逆行列を求めることになります)

ブラ・ケット両方とも完成したら、Hを挟んでやって対角化を試してみましょう。＾ヮ＾(鬼畜)




ブラケットを規格化してない場合は手計算は少し楽です。

 
として、


 
を確かめればいいです。＾＾


つづく。


にほんブログ村