ブラベクトルとケットベクトルの未規格化

ブラベクトルとケットベクトルの規格化は手計算では正直めんどい。

未規格化のブラベクトル<E|と、その逆行列であるケットベクトル|E>で
ハミルトニアンHをサンドイッチする際に

<E|H|E>/|E|(行列式)=Eみたいなことでごまかしてみたい。
もっとも、その際にはブラベクトルはケットベクトルの逆行列であって、あくまでエルミート共役ではないが。


状態が3つ以上になると、規格化の有り難みが増すかもしれない。
ケットをブラにする際にわざわざ逆行列を求めなくても、転置して複素共役を取るだけで済むのはかなりありがたいことだと思う。(手計算並感)



ところで先日、具体的なハミルトニアン(2状態系)を初めて見た気がする。
この具体性がほしかった。
当たり前っちゃあたりまえだが、単位行列を含んだ4つのパウリ行列に分解することが出来る。
なににどう役立つのか、いまいちわかってないが、

なにやら、クォータニオンの亜種のように扱うことで
固有ベクトルを算出しやすくしているような気がする。
クォータニオンもまた、回転させる際に、半分の回転角を担わせたケットとその複素共役めいたブラでサンドイッチして回転させる。
その上、クォータニオンには結構自由度がありそうだ。
σ0-i(σ1+σ2+σ3)の体系以外にも
σ0+σ1+σ2+σ3という体系を作っても構わないらしい。

あくまで主体はσ1～3の3次元(3つの虚数)であって実数ではない。
3次元内でつじつまがあっていれば構わない。
3つのパウリ行列同士は、σ0を仲間はずれにすると、-iを掛け算しなくとも、自分たちだけで3つの虚数としてきちんと機能する。
ただ、3つの虚数の2乗が-1になる保証がなくなるだけのようだ。


また、回転軸を任意の唯一にしなくても構わないらしい。
あくまで2種類の回転角を用いて、従来の(ジンバルロックする)極座標のように使うことも可能なようだ。
元々3次元の極座標の3つの基底「動径・緯度・経度」には対等性がないのだけども
今回扱った「クォータニオンのようなもの」にはもう少し高レベルの非対等性があるように思える。
複素数を使ってしまったさあどうしよう、自由度が足りない。回転行列も使うか、的な。


3状態系以上ではどうなるんだろうなぁ
3状態系ではゲルマン行列のように8種類のゲルマン行列を必要とするのだろうか
8種類のゲルマン行列と3×3の単位行列合わせて9つセットかもしれない


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