行間放送大学「量子と統計の物理」第7話 後編

前回の行間放送大学は！

<E|H|E>で対角化して、固有状態を求めた！
ブラとケットを規格化してなくてもイケるっちゃイケる！

＝＝＝＝＝＝＝＝

さて、
7話では、ハミルトニアンをパウリ行列に分けたり、そんなこともしていました。
まあ、任意の2×2行列は4つのパウリ行列のスカラー倍の和(線形結合)で記述できるのです。


 

ここで、クォータニオンを連想される方もいらっしゃるかもしれませんが、
どうもこれは純粋なクォータニオンではないようです。

σ1σ2=-σ1σ2=iσ3
σ2σ3=-σ3σ2=iσ1
σ3σ1=-σ1σ3=iσ2

で、iのぶんだけずれていますし

σ1^2=σ2^2=σ3^2=σ0≠-σ0も成り立っていません。

ちょっと歪んだクォータニオン、あるいはその亜種なのかもしれません。
こういった亜種は、他にもたくさんいるのかな？


本来は、
q0σ0-i(q1σ1+q2σ2+q3σ3)
といった風に、3つの虚数単位としてパウリ行列を当てはめる際には
パウリ行列に-iを掛け算したうえで3つの虚数単位に相当させて使うようです。こうすると、虚数単位の2乗が-1になって都合がいいのです。
(-iσ1)(-iσ2)=(-iσ3)
(-iσ2)(-iσ3)=(-iσ1)
(-iσ3)(-iσ1)=(-iσ2)

もちゃんと成立していますしね！


しかし今回の場合、
複素共役によって和や差が三角関数になるのが
(γ+γ*)/2=cosφ、(γ-γ*)/2i=sinφ
↑コレしか相当せず、

(ε1±ε2)/2の扱いには困ってしまいます。


そこで、σ1,σ2,σ3には-iを掛け算しなかったのだと考えられます。

また、クォータニオンの強みである「任意軸回転」が今回の場合反映されていません。
あくまでθとφの2種類の極座標めいた座標系で固定的な回転を施しています。
いうなれば2軸の回転行列の積といった感じでしょうか。



しかしながら、どうもこの理屈を使うと規格化された固有ベクトル|E>ですら

このように簡潔に記述できてしまうらしいのです。

ここで、φとθは、
γ=|γ|exp(iφ)
tanθ=√(q1^2+q2^2)/q3=2|γ|/(ε1-ε2)
q1=|γ|cosφ、q2=|γ|sinφ
q3=(ε1-ε2)/2
と定義されているようです。

元々対等性もへったくれもなかった極座標がさらにいびつになっていますねｗｗｗｗｗ


少なくともθに関する回転は、
(歪んだ)クォータニオンの回転の恩恵を受けていそうな気がします。
クォータニオンでθだけ回転させる際に、θを半分こして、対象のオブジェクトの左右から挟み撃ちで掛け算する
 

P'=QPQ*
こういう方法を取ることから、ど～も首の皮一枚でつながってる気がしてなりません。

にほんブログ村