２状態系の量子力学

ブラとケットの覚え方
オリザノールさんが鏡文字にならない順番に、ブラ・ケット。


モナピーが起きている状態を|1>、寝ている状態を|2>と番号をつけておく。
 
この|1>とか|2>とかいう状態は、あくまで実験装置も含んだ観測者の都合に依存するので、量子サイズのモナピーにとっては固有状態であるとは限らない。

固有状態ならば、○んちょうを素直に測らせてくれるのだけど、
固有状態ではない場合、モナピーは暴れる。


起きているときの○んちょうをε1、寝ているときの○んちょうをε2とし、
ε1>ε2、また、起き上がるときと萎えるときの遷移確率を、それぞれ複素数のγとγ*(肛門マークは複素共役)として、○んちょうの物理量演算子であるHと、状態ブラ・ケットベクトルの中の人をそれぞれ

 
とすると(1つ目が起きてるスイッチon、2つ目が萎えてるスイッチonと考えればよい)
ちなみに、ブラをケットに変えるには転置をしてから複素共役を取ればよい。

状態乳ベクトル・物理量の演算子行列・状態尻ベクトルの順に掛け算したものが、
観測される期待値なので

<1|H|1>= =ε1　起きているときの○んちょう
<2|H|2>= =ε2　萎えているときの○んちょう
<1|H|2>= =γ*　ふるぼっこされる確率
<2|H|1>= =γ　ふるおっきする確率

という風に計算できる。

 
  この○んちょうがタマタマ固有状態だったら、○んちょうはE+とE-で、遷移しないのでγ=0であり、Hは以下のように対角化できるわけだが、




今、この実験系の状態を固有状態の線形結合で表すことができないだろうかと考えると、
都合のいいことに、固有方程式という数学的道具を用いて、固有状態同士の線形結合で書くことができるのだー！


↑これが固有方程式である。
 
この固有方程式が成り立つ|E>の中の人αさんとβさんを定めるのである。

つまりは連立方程式が永年方程式になる条件を見つけるのである。


この、|E>というのが固有状態の尻ベクトルである。
 尻ベクトルの転置をしてさらに複素共役を取った、つまりエルミート共役を取ったものが、乳ベクトルである。
また、状態ベクトルは、２状態なら２つ、３状態なら３つの状態の、絶対値の２乗の和が１でなければならない(必ず配列内のどこか存在するの意)ので、必ずユニタリ行列となるのだが、ユニタリの便利な性質として、エルミート共役がそのまんま逆行列なのである。
この場合はα^2+β^2=1

あと、Eとかいうスカラー量は固有値であり、Hのような、エルミート行列の固有値は、かならず実数となる。
この場合、物理量は、モナピーのブレない○んちょうである。
重解でもなければ、n×n行列の固有値は一般にn個あるし、ケッツは縦にn個並んでいるセットをnセット横に並べるので、n行n列の正方行列となるし、ブラもn×n正方行列となる。そしてユニタリである。



具体的に解いてみよう。

こいつが永年方程式であればええねんから
H-E単位行列の逆行列が存在しない、つまり、H-E単位行列の行列式が0になればええねん。


(ふくごーどーじん)
ほーら、エルミート行列の固有値だから、みんな実数になるじゃろぉ～？

ここで、Hをパウリ行列に分解することを考えてみる。


パウリ行列は3次元の単位ベクトルのような役割を担うこともできるので、
 

図のように3次元中の極座標による偏角φとθを、|γ|=|q|sinθ、(ε1-ε2)/2=|q|cosθと定義すると

と、まとまる。
また、固有値E±は、E±=q0±|q|であるともいえる。

ここで、固有値方程式に戻って、2つのαさんとβさんを求めてみよう。


αとβの式は、永年方程式になっちゃったので、両方解くのは意味がない。どちらか片方だけで十分だ。

(q0I+|q|cosθ)α+|q|exp(-iψ)sinθ・β=q0I±|q|α
|q|(-cosθ±1)α=|q|exp(-iψ)sinθ・β
(-cosθ±1)α=exp(-iψ)sinθ・β

半角の公式

をフルに使って

尻ベクトル となる。
これがユニタリであることを確認するためには、行列式の絶対値|||E>||=1を確認すればいい。

また、乳ベクトルは尻の逆行列でありながらエルミート共役でもある

となる。


|E+>=cos(θ/2)|1>+exp(-iψ)sin(θ/2)|2>
などといった風に、勝手な実験系の2状態の線形結合で、固有状態を表すこともできてしまうし、その逆も可能。


ためしに<E||E>が単位行列になるかどうか確かめてみるといいよ！

ついでに対角化も確認してくれるとおじさんうれしいなー





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気になるのは、半角の公式がこうも都合よくフル活用される点です。うまくいきすぎているような・・・
そこで以前からちょっと考えているのが、クォータニオンによる任意軸回転の計算
回転させたいオブジェクトHに対して、回転角θの半分の角度だけ回転させるクォータニオン|E>とその複素共役<E|を
 <e|h|e>とサンドイッチして掛け算するのに何か対応しないか？というものなのですが
まあ共役とサンドイッチするのは対角化で散々見かけるので偶然だとしても
回転角度の半分相当ってのがどうも引っかかるんですよね。

ただ、今回のやつの妙なところは、ゼロ番目のパウリ行列、通称「単位行列」と1～3番目のパウリ行列との間にiの分だけ差別がない点です。
これだと、クォータニオンとしてはちょっと歪んだ形になってしまう
でも、元来クォータニオンによる回転は0番目の功(単位行列が担う実数部分)はほとんど見てないんですよね。
実際、この式でもq0は打ち消されましたし。
ちょっと歪んでても成立しちゃうのかなぁとか思ったり。

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