JS：いとしのフーリエ級数

耳鼻科の待ち時間に暇つぶし

問題
最大値1、最小値-1の矩形波関数f(t)を1周期分でフーリエ級数に展開しなさい。

今回は位相をcos型にしました。

フーリエ級数の定義は

周期Tの周期関数f(t)は、フーリエ級数A₀、A_n、B_nによって以下のように近似できます。
f(t)=A₀+∑(A_n・cos(2πnt/T)＋B_n・sin(2πnt/T))　(総和範囲n：1～∞)
ただし、
A₀=∫₀^Tf(t)dt/T　
A_n=2∫₀^Tf(t)・cos(2πnt/T)dt/T　
B_n=2∫₀^Tf(t)・sin(2πnt/T)dt/T　
nは整数です。

ここで、位相をcos型にしたため、関数は偶関数となり、
B_n=0
A_n=4∫₀^T/2f(t)・cos(2πnt/T)dt/T　

とできます。

また、平均値が0なので、A₀=0とでき、計算が簡略化できます。

f(t)は0～T/4の区間では1、T/4～T/2では-1の値をとるので、区間を分けて積分します。

A_n=4(∫₀^T/4cos(2πnt/T)dt　
-∫_T/4^T/2cos(2πnt/T)dt)/T　

=2([sin(2πnt/T)]₀^T/4　
-[sin(2πnt/T)]_T/4^T/2)/(nπ)　

=4sin(nπ)/(nπ)

=4(-1)^n-1/((2n-1)π)

よって元の周期関数は、以下のように表すことができます。

f(t)=∑A_n・cos(2πnt/T)　(n：1～∞)

=(4/π)∑(-1)^n-1/(2n-1)・cos(2π(2n-1)t/T)　(n：1～∞)

≒(4/π)(cos(2πt/T)-cos(6πt/T)/3+cos(10πt/T)/5-cos(14πt/T)/7･･･)


ちなみに、f(0)=1を利用すると
π≒4(1-1/3+1/5-1/7･･･)
が証明できますよ。＾＾収束はめちゃくちゃ悪いですけどねー
(モンテカルロよりはマシ)





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