SX：ハガレンの五芒星

鋼の錬金術師の錬成陣を見ていて

なんで5なんていう中途半端な数なんだろう。
そう思って3芒星を描いてみた。三角形に･･･
描けないので、4芒星を描いてみた。四角形に･･･
やっぱり描けない。

なぜ描けない！？
そもそも五芒星はどのように描かれている？
五角形の頂点を1つまたぎで結んで描かれている。

だから、点が3つとか4つしかない三角形や四角形だと、1つまたぎ自体ができないので不可能というわけだ。

5という数字は、五芒星が一番数の少ないn芒星であることからきているっぽい。

5より下がるのは無理ということがわかった。
では1つ増やして6、六芒星も割りとメジャーなものだろう。
しかし、その性質は五芒星とはやや異なる。

五芒星は一筆書きができるのに対して、六芒星は一筆書きができない。

七芒星だとどうなるのか？
七角形には頂点が7つある。ここで、五芒星や六芒星では見えてこなかったものが見えてくる。
頂点1つ飛ばしのほかに、2つ飛ばしでの描画が可能になるのだ。
つまり七芒星の描き方は2パターンある。

次に八芒星。
八芒星も頂点1つ飛ばしと2つ飛ばしの2通りが可能なため、2パターンの描き方が存在する。

九芒星もやってみよう。
九芒星は3パターンあることがわかった。

そのうちの、頂点2つ飛ばしの描画に興味深いことを見つけた。
3つの3角形に分離するのである。
これは、六芒星のときに類似の現象を見かけた。
つまり六芒星は1つしかないパターン自体が、2つの三角形に分離する。

そうすると、だんだんパターンが見えてくる。
3番目の奇数nから始まるn角形からn芒星は作ることができ
m番目の奇数と偶数からなるn角形によるn芒星はm-2パターンの描画方法が存在する。

また、nが約数Lを持ち、頂点をk+1つ飛ばした描画においてk+1も共通するLを持つとき、一筆書きができなくなる。(たぶん)

16芒星の6パターンを図に示す。



























ここで、

m番目の奇数と偶数からなるn角形によるn芒星はm-2パターンの描画方法が存在する。

に注目すると

n角形におけるn芒星のパターン数a_nは
n→a_n
5→1
6→1
7→2
8→2
9→3
10→3
11→4
12→4
13→5
14→5

と続いていくことがわかる。


この数列の一般式を求めてみたい。

まずは偶数と奇数の式を分けよう。
n2つ分に対してanが1つ増えるのであるから
anをnの関数と考えた場合、傾き1/2の直線であることがわかる。
直線であるから、傾きがわかれば残りは切片がわかれば直線の式は決定する。

nが奇数の場合はn=5、an=1を通るため切片が-3/2、
よってan=n/2-3/2
であり
nが偶数の場合はn=6、an=1を通るため切片が-2、
よってan=n/2-2

という数列であることがわかった。

それではこの式を偶数にも奇数にも使えるように統一する。

まず共通部分を探すと
an=n/2-3/2までは共通である。
これに-1/2を加えるかどうかだけが異なるのだが
1を加えるかどうかを表現するよりは
+1を加えるか、-1を加えるかという切り替えのほうが表現としてはたやすい。
つまり、(-1)^nの形式である。

結局、この処理を施すとanは
an=(2n-7-(-1)ⁿ)/4
という数列になる。
全体を4で割っているが、anはちゃんと整数として出てくる。
ためしに、2n-7-(1)^nのnに整数を入れてみてもらうと、結果がすべて4の倍数であることがわかるだろう。

つまり、n角形からはan=(2n-7-(1)^n)/4種類のn芒星が作れるというわけだ。








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