UWB：2次元と3次元の超えられない壁みたいな感じの行列

数学の行列ってあるだろ

行だけのやつもあるし、列だけのもあるし、行と列からなってるのもあるし
要は2階のテンソル的なアレよ。
って


あれって中身が違っても本質が同じってのがいくつかあるんだよな

その本質を行列式と言って･･･あれ？

それいうなら固有値じゃね？

あれ？

ちょっと待て。行列のアイデンティティを表すものが2種類ある。

こいつらはたぶん同じことを言ってるべきだ。

じゃあ固有値と行列式の関係は？

ぐぐっても目的のものが出てこないので自分で計算した。


実はどうも、固有値を全部かけると行列式になるらしい。

n行n列の正方行列Aってのがあって、その固有値がλ1～λnなら

λ1×･･･λn=detA

になるらしいってわけ。detAってのはAの行列式のことな。デターミナントって読むらしい。


じゃあ2行2列の行列で試してみるか。

Aって行列がある。その要素は[[a11,a12],[a21,a22]]

行列式は

detA=a11a22-a21a12

と簡単に求まる。


じゃあ次、固有値を求めよう。

固有値λ1とλ2の求め方は、

det(A-λI)=0

の条件を解くこと。Iは単位行列な。[[1,0],[0,1]]

条件から、

(a11-λ)(a22-λ)-a12a21=0

の方程式が組み立てられる。2次方程式だね。

整理すると

λ^2-λ(a11+a22)+a11a22-a12a21=0

これを、解の公式を使って解くと

λ=(a11+a22±√((a11+a22)^2-4(a11a22-a21a12)))/2

このうち、ルートについた＋のほうをλ1、－のほうをλ2とするとλ1とλ2の積は

λ1λ2=(a11+a22+√((a11+a22)^2-4(a11a22-a21a12)))/2*(a11+a22-√((a11+a22)^2-4(a11a22-a21a12)))/2

=((a11+a22)^2-((a11+a22)^2-4(a11a22-a21a12)))/4

=a11a22-a21a12

ほらね、行列式になった。


ってこの勢いで3行3列の行列とかにも挑戦しようと思うだろ？

それが2行2列のときとは全然レベルが違うのさ。

なんたって3次方程式になる！

3次方程式はカルダノの方法で解けて、解は一般に3つあるんだけど
その3つの解が全部実数になることは珍しい。

複素数になったら計算エラくめんどいじゃん

じゃあ実数解を持つように3次方程式の係数を変えればよくね？って思うだろ

それが、そう定めるために行列の要素を決定するのがなんかすげぇ困難なんだよな

僕のレベルが低いせいだろうけど。

連立方程式解かなきゃならないんよ。

それこそ行列でやりゃあいいじゃんって言われるかもしれないけど、非線形なんだよ
行列にぶち込めないんだよ。くそう


具体的に数入れて解く準備さえ困難ってなんなのこの行列ってやつは。＞＜

5行5列の行列なんてどうすんだよ
5次方程式だぞ？一般的な解法がないって断言されちゃってるんだぜ？




･･･あ

そういやなんか思い出した。

エルミート行列の要素から虚部を剥ぎ取ったような行列Aがあって

エルミート行列ですら固有値がすべて実数なんだから、
Aの固有値だって実数に決まってんだろ
みたいな定理あったよね？

最悪、無理やり数値解析で関数のゼロ点探して解くのもアリになるのか。
変数1個で済むと楽だよなぁ



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