YN：日本の重心の計算のしかた

昔、群●に住んでいたとき
職場の人から「○馬は日本のへそだ」
という話を聞き
帰ってからぐぐると
へそを主張している地域がいっぱいあることに気がついた（笑）

ちょうど測量の本を買ったばかりだったので、

じゃあ自分なりに計算してみるか

と思い立ち、最小限の知識だけで理論を自分なりに構築してみた。

昔からよく聞いていた話に
「どんな形も三角形に分割できるよ」とか
「中心は重心だよ」とか
そんなのがあったので

この2つを元になんとかできないかと考えてみた。

まずは日本を、適当な粗さの三角形に分割していく。
その三角形はそれぞれ大きさも形も違うが、それぞれ面積と重心位置がある。
今度は分けた三角形の面積と重心位置の情報を寄せ集めて、日本全体の重心位置を決めるというわけである。

日本の地形を小さな三角形に分割してそれぞれの重心を面積を求めると
イメージとしては
重さの違う塊が日本各地に点在している
といった感じになるだろう。

この塊たちを、実質重さのないシーソーで全部つなげてやって、
どこに支えをおけば塊たち（日本の国土）がまったく傾かないか
というやじろべえ問題にすると、計算がしやすくなる。

塊の重さの比率は三角形の面積の比率そのものである。
三角形の面積が大きくなれば、その分だけ塊の重さが増す。

 

ここで簡単のため、シーソーを考えよう
右に2人、左に1人、だいたい同じくらいの体重の子供が乗っているとき
シーソーが傾かないでいるためには
左の子供が離れて座ればいい

つまり、面積の小さい三角形も、遠くに配置されていれば重心位置に絶大な影響を及ぼすのである。
沖縄とか小笠原諸島とかね。

ということは、離島をハショったり追加したりすることで、いくらでも重心の主張は覆すことが可能なのである。

 

ちなみに僕が計算したときは、重心は国土の中になく、
日本海の真っ只中にあった。
これぞ、まさに日本が弓なりの形をしているがゆえのやじろべえ効果であろう。
中心が陸地にあるとは限らないいい例だな。

 

あれ、測量の本、読んだっけ？

 

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参考数式
・1つの三角形の重心位置の計算

三角形の重心位置は、それぞれの頂点位置をA、B、C(ベクトル)とおくと
重心位置G(ベクトル)は
G(G_x、G_y)=(A+B+C)/3
なので、成分に分けると
G_x=(A_x+B_x+C_x)/3
G_y=(A_y+B_y+C_y)/3
となる。

・三角形の面積の計算

三角形の面積は、3辺の長さがそろっているだけで計算できる
ヘロンの公式を使うといい。
3辺の長さをそれぞれ|a|、|b|、|c|(スカラー)とおき
s=(|a|+|b|+|c|)/2
s₁=s-|a|
s₂=s-|b|
s₃=s-|c|
とおくと
三角形の面積Sは√(s・s₁・s₂・s₃)
になる。
（ちなみに、これは余弦定理かなんかから導き出せた、はず）

頂点の位置(大文字ABC)と辺の長さ(小文字abc)の関係は以下のようになる。(どちらもベクトルである)
a=B-C
b=C-A
c=A-B

ベクトルの長さ（絶対値）は
ベクトルaを例にとると
|a|=√(a_x²+a_y²)
である。

・複数の三角形の重心位置の計算

大きさも形も違う三角形が3つあって
それぞれ面積がS₁、S₂、S₃(スカラー)、重心位置がG₁、G₂、G₃(ベクトル)なら
その3つの三角形全体の重心位置G(ベクトル)は
G=(S₁G₁+S₂G₂+S₃G₃)/(S₁+S₂+S₃)
と計算できる。

三角形がたくさんあれば、∑記号を用いて
G=∑(S_nG_n)/∑(S_n)
となる。



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