井戸ポテの波動関数

11日の日記で、1次元有限深井戸型ポテンシャル中の波動関数が
存在できるための条件までは解いたんですが
波動関数そのものはまだ解いていなかったんですね。


解析的に出来る自信がなかったので数値シミュレーションで解いてみました。



こんな感じにポテンシャルがある中で
微分方程式を差分方程式にして解くわけです。
ψ''+2m（E-V(x)）/ħ^2・ψ=0
の微分ψ''を、ψ''≒(ψ2-2ψ1+ψ0)/dx^2
ってな感じに差分に置き換えて
(ψ2-2ψ1+ψ0)/dx^2+2m（E-V(x)）/ħ^2・ψ1=0

ψ2=2ψ1-ψ0-2m（E-V(x)）dx^2/ħ^2・ψ1
を、xに応じて逐一計算するだけです。
ψ1とψ0はそれぞれ1つ、2つ前のxにおけるψです。

なので、最初のψ1とψ0を初期値として入力しておくっていうのは自由落下の運動方程式を解くときの初期位置と初速度とほとんど変わりません。
無限深量子井戸だったらx/a=1のところでψがちょうどゼロになるように調整して投げ上げる、ただそれだけの感じです。
有限深の場合はどこで収束するのかわかんないので、井戸の端ではなく井戸のど真ん中で境界条件の代わりの初期値みたいのを決めました。


井戸の中心をx=0とおくと、原点対称かy軸対称なのはわかっているので
中心でのψを0か1と置いて、中心からdx離れた地点でのψを中心のψ-0.1みたいなことにして
x/aが1になってポテンシャルがV0になった向こう側でψが発散しないエネルギー固有値Eを
探って、まあなんとなく解いてみました。
固有条件の算出や規格化、x=0でのミラーリングや偶関数、奇関数切り替えなんかは基本的に手動です･･･
全自動って苦手なんすよ･･･組み上げる側からすると不安要素でいっぱいですorz

いちおうエネルギーに応じて振動もさせておきました。
(ħ=m=a=1、dx=0.05、V0=100･･･のつもりです)



だいたいは合うんですよね、だいたいは。
でもなんでかエネルギー固有値がかなり大雑把にしか合わなくて･･･＞＜
誤差の範疇越えてますよ･･･なんなんだろうこれ。



昨日の、固有エネルギーの条件を解いた結果がこちら。

横軸がエネルギーで、縦軸はk1cosk2a-kesink2aをプロットしてるので
x軸を横切るエネルギーがエネルギー固有値のはずなんですけどね･･･
どういうわけか、この節のエネルギーじゃないところでシミュレーションが発散しないという･･･

エネルギー固有値が量子数の2乗に比例してるっぽいところも一緒なんですけどねえ
どこがどういかんのか･･･
シミュレーションする際の規格化の間違いか、あるいは位置xの刻み幅dxを粗く取りすぎてるのか･･･
まあだいたい出来たんでいいんですけどねー･･･

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※訂正2013年1月18日(未完了)

シミュレーションと手計算が合わない理由判明しました！
手計算の条件判定式のほうが間違ってました...orz
とりあえずV=100のときの判定図張りなおしておきます＞＜

判定式が変わったので、それに伴って節の位置とか数とかが変わってます
これだとシミュレーションとの差がだいぶ減ってるはずです


※追記2013年1月19日(完了_のつもり)
ポテンシャルをパラメータにして動かした固有値判別のgif動画も貼りなおしておきますね